数学人教a版必修5第一章111正弦定理

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1、2谍程目际•1.1.1正弦定理KECHENGMUBIAOYINHANG^1.了解止弦定理的推导过程，掌握止眩定理及其变形.祈理2.能用正弦定理解三角形，并能判断三角形的形状.文字语言在一个三角形中，各边和它所对角的—的比相等图形语言ZBaC符号语言在AABCip,sinA~sinB-作用解三角形、判断三角形的形状等［垦础知识二巧J1CHUZH1SH!SHULI1.止眩定理〔知识拓展；迹△ABCn勺外接圆的半径为R,则有absinsinB~sinC~-由此还可以推出以下结论：①g:b:c=sinA：sinB：sinC；asinAc—sinC

2、‘bsinBc—sinCbsinBca+b+csinCsinA+sin3+sinC'④a=2RsinA,/?=2/?sinB,c=2/?sinC：⑤sin力=売，sinB=磊，sinC=刍;@A6f27?sinA<21?sinB<=>sinA

3、的三个角和它们的叫做三和形的元素.己知三角形的几个元素求的过程叫做解三角形.利甬芷眩克議可以解两类三角形：①已知三角形的任意两个角与一边，求其他两边和另一角；②己知三角形的两边与其中一边的对角，计算另一边的对角的正弦，有解时，进而求出其他的边和角.【做一做2-1］在△ABC中，c=3,A=45。，C=60°,贝0d=【做一做2-2]在△ABC中，67=2,h=l,sinA=y贝ljsinB=答案：1・正弦金【做一做1】B2.对边其他元素突破【做—做2—1]・&【做一做2-2]

4、Q诂重扁难扁•〔^2~ZHONGDIANNANDIANTUP（

5、厂确定三角形解的个数剖析：（1）已知两角与一边，根据正弦定理，有解时，只有一解.（2）已知两边及其中一边的对角，根据正弦定理，可能有两解、一解或无解.在AABC中，已共点（除去顶点A）的个数即为三角形解的个数.也可以根据三角函数的性质来判断.由正弦定理，得sinbsinA>1时,则无解;hsinA・z〒=1时,则有一解;当0<4<1则有两解.题型一已知两角和一边解三角形时，如果aNb,即则B—定为锐角，则有一解；如果a

6、边长精确到0.01）.反思：已知三角形的两角和一边时，解三角形的步骤如下：①利用三角形内角和定理求出第三个角；②用正弦定理求出另外两边.题型二己知两边和其中一边的对角解三角形【例题2】在AABC中，己知下列条件，解三角形：(1)a=10,b=20,A=80°；(1)b=10,c=5心,C=60°；(2)a=书，b=五,3=45°.反思：己知两边和其中一边的对角解三角形的步骤：①利用正眩定理求出另一角的正弦值m,若m>l,则此三角形无解(如本题(1)),若0

7、该内角的大小，先用三角形的内角和定理求出第三个角，再用正弦定理求出第三边，此时可能无解，或仅有一解(如本题(2)),或有两解(如木题(3)).此类题目也可先确定三角形解的个数，再解三角形.题型三判断三角形的形状【例题3】已知AABC屮，bsinB=cs•加C,FLCa=$/B+CC,试判断三角形的形状.分析：设益说=2R，再利用助人=旅曲B=寻，助C=翕将角的关系化为边之间的关系.反思：(1)要判断三角形的形状，必须深入研究边与边的大小关系：是否两边相等？是否三边相等？是否符合勾股定理？还要研究角与角的大小关系：是否两个角相等？是否三个角

8、相等？冇无直角或钝角？(2)解此类题的思想方法是：从条件岀发，利用正弦定理等进行代换、转化、化简、运算，发现边与边的关系或角与角的关系，从而作出正确判断.(3)—般有两种转化方向：①角转化为边，②边转化为角.答案：【例题1】解：・・・A+B+C=180。，.•.B=180°-A-C=50°.亠〒心宀r中n,dsinBlOsin50°仃“由正弦疋埋，可知b=人=sin30。〜1录32,6/sinClOsin100°c=■人=j“。〜19・70・sinAsin30【例题2】解：(1)由正弦定理，得抽3=企譽=犖罟=2血80。>1,故此三角形无

9、解.卄—仲.“bsinClOsin60°y[2(2)由正弦疋理，得sinB=—=—=2-V0°