数学人教a版必修5第一章1.1.1正弦定理

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1、1．1.1　正弦定理1．了解正弦定理的推导过程，掌握正弦定理及其变形．2．能用正弦定理解三角形，并能判断三角形的形状．1．正弦定理文字语言[来源:学.科.网]在一个三角形中，各边和它所对角的______的比相等图形语言[来源:学。科。网Z。X。X。K]符号语言在△ABC中，＝＝______作用解三角形、判断三角形的形状等设△ABC的外接圆的半径为R，则有＝＝＝2R.由此还可以推出以下结论：①a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；②＝，＝，＝；③＝＝＝；④a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；⑤sinA＝，sinB＝，sinC＝；⑥A＜Ba＜b2RsinA＜2Rs

2、inBsinA＜sinB.正弦定理是三角形中的边与角联系的纽带和桥梁，也就是说，能够将三角形中边的关系转化为角之间的关系，也能将角的关系转化为边之间的关系．这是正弦定理的“灵魂”．[来源:学科网]【做一做1】在△ABC中，a＝2，b＝3，则＝(　　)A.B.C.D．不确定2．解三角形一般地，把三角形的三个角和它们的______叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求________的过程叫做解三角形．利用正弦定理可以解两类三角形：①已知三角形的任意两个角与一边，求其他两边和另一角；②已知三角形的两边与其中一边的对角，计算另一边的对角的正弦，有解时，进而求出其他的边和角．【做一做2－

3、1】在△ABC中，c＝3，A＝45°，C＝60°，则a＝__________.【做一做2－2】在△ABC中，a＝2，b＝1，sinA＝，则sinB＝__________.答案：1．正弦　【做一做1】B2．对边　其他元素【做一做2－1】【做一做2－2】确定三角形解的个数剖析：(1)已知两角与一边，根据正弦定理，有解时，只有一解．(2)已知两边及其中一边的对角，根据正弦定理，可能有两解、一解或无解．在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况如下：角A为锐角角A为钝角或直角图形关系式①a＝bsinA[来源:学科网]②a≥bbsinA＜a＜ba＜bsinAa＞ba≤b解的情况一解两解无解一

4、解无解具体解题时，作出已知角A，边AC，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，与射线AB的公共点(除去顶点A)的个数即为三角形解的个数．也可以根据三角函数的性质来判断．由正弦定理，得sinB＝.当＞1时，则无解；当＝1时，则有一解；当0＜＜1时，如果a≥b，即A≥B，则B一定为锐角，则有一解；如果a＜b，即A＜B，则有两解．题型一已知两角和一边解三角形【例题1】在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A＝30°，C＝100°，a＝10，求b，c，B(边长精确到0.01)．反思：已知三角形的两角和一边时，解三角形的步骤如下：①利用三角形内角和定理求出第三个角；②用正弦定理求出

5、另外两边．题型二已知两边和其中一边的对角解三角形【例题2】在△ABC中，已知下列条件，解三角形：(1)a＝10，b＝20，A＝80°；(2)b＝10，c＝5，C＝60°；(3)a＝，b＝，B＝45°.反思：已知两边和其中一边的对角解三角形的步骤：①利用正弦定理求出另一角的正弦值m，若m＞1，则此三角形无解(如本题(1))，若0＜m≤1，则执行下一步；②借助于三角形的内角范围和m来确定该内角的大小；③分类讨论该内角的大小，先用三角形的内角和定理求出第三个角，再用正弦定理求出第三边，此时可能无解，或仅有一解(如本题(2))，或有两解(如本题(3))．此类题目也可先确定三角形解的个数，再

6、解三角形．题型三判断三角形的形状【例题3】已知△ABC中，bsinB＝csinC，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断三角形的形状．分析：设＝＝＝2R，再利用sinA＝，sinB＝，sinC＝将角的关系化为边之间的关系．反思：(1)要判断三角形的形状，必须深入研究边与边的大小关系：是否两边相等？是否三边相等？是否符合勾股定理？还要研究角与角的大小关系：是否两个角相等？是否三个角相等？有无直角或钝角？(2)解此类题的思想方法是：从条件出发，利用正弦定理等进行代换、转化、化简、运算，发现边与边的关系或角与角的关系，从而作出正确判断．(3)一般有两种转化方向：①角转化为边，②边转

7、化为角．答案：【例题1】解：∵A＋B＋C＝180°，∴B＝180°－A－C＝50°.由正弦定理，可知b＝＝≈15.32，c＝＝≈19.70.【例题2】解：(1)由正弦定理，得sinB＝＝＝2sin80°＞1，故此三角形无解．(2)由正弦定理，得sinB＝＝＝.∵0°＜B＜180°，∴B＝45°或135°.当B＝45°时，A＝180°－(B＋C)＝180°－(45°＋60°)＝75°，∴a＝＝＝＝5(＋1)．当B＝135°时，A＝180°－(B＋C)＝－15°＜0°，∴