28.2 解直角三角形（4）

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1、28.2解直角三角形（4）教学目标：1.理解方向角、坡角、坡度等概念，并能利用解直角三角形的方法解决相关的实际问题。2.在综合知识解决问题的过程中，把数和形结合起来，提高分析问题和解决问题的能力。3.通过参与活动，培养积极探索的学习态度，体验综合运用数学知识解题的意识。教学重点和难点：1.重点：利用解直角三角形解决实际问题。2.难点：将实际问题转化为数学模型来解决。教学过程：一、创设情境，导入新知1、回顾：（1）实际问题中的仰角和俯角（2）方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角。二、探究新知：1、方向角问题：（

2、1）实例探究：一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80nmile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时B处距离灯塔P有多远（结果取整数）？（cos25°≈0.906，sin34°≈0.559）（2）探究：①根据题意，你能画出示意图吗？②结合题目的条件，你能确定图中哪些线段和角？求什么？怎样求？③你能写出解题过程吗（要求过程完整规范）？④想一想，求解本题的关键是什么？（3）解题过程：解：如图在Rt△APC中，　　PC=PA·cos（90°-65°）=80×cos25°≈72.5

3、05．在Rt△BPC中，∠B=34°，　∵　sinB=　　，　　∴　PB=　　=　　≈130（nmile）．h（4）练习：海中有一个小岛A，它的周围8海里范围内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？2、斜坡问题：如图(2)（1）明确相关的量：坡角（或坡面仰角）α、坡面距离l、坡面水平距离m、坡面垂直距离（或坡高）h。（2）坡度：i==tanα（3）转化：坡面是“曲”的，可采取“化曲为直，以

4、直代曲”或“化整为零”分段来解决，最后再“积零为整”。（4）例题解析：1、某人沿着坡角为45°的斜坡走了310米，则此人的垂直高度增加了____________米。2、如图，一束光线照在坡度为的斜坡上，被斜坡上的平面镜反射成与地面平行的光线，则这束与坡面的夹角是度．3.如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度i=1：1.5是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比，斜面坡度i=13是指DE与CE的比，根据图中数据，求：（1）坡角α和β的度数；（2）斜坡AB的长（结果保留小数点后一位）．3.化整为零，积零为整，化曲为直，以直代曲

5、的解决问题的策略解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情况灵活运用相关知识，例如，当我们要测量如图所示大坝的高度h时，只要测出仰角a和大坝的坡面长度l，就能算出h=lsina，但是，当我们要测量如图所示的山高h时，问题就不那么简单了，这是由于不能很方便地得到仰角a和山坡长度l，与测坝高相比，测山高的困难在于；坝坡是“直”的，而山坡是“曲”的，怎样解决这样的问题呢？我们设法“化曲为直，以直代曲”．我们可以把山坡“化整为零”地划分为一些小段，图表示其中一部分小段，划分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是“直”的，可以量出这

6、段坡长l1，测出相应的仰角a1，这样就可以算出这段山坡的高度h1=l1sina1，在每小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法分别算出各段山坡的高度h1,h2,…,hn,然后我们再“积零为整”，把h1,h2,…,hn相加，于是得到山高h.以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”的做法，就是高等数学中微积分的基本思想，它在数学中有重要地位，在今后的学习中，你会更多地了解这方面的内容．三、综合应用练习1：如图，海上有一灯塔P，在它周围6海里内有暗礁.一艘海轮以18海里/时的速度由西向东方向航行，行至A点

7、处测得灯塔P在它的北偏东60方向上，继续向东行驶20分钟后，到达B处又测得灯塔P在它的北偏东45方向上，如果海轮不改变方向继续前进，有没有触礁的危险？练习2：如图，沿水库拦水大坝梯形ABCD的背水坡AB，将坝顶AD加宽2米，背水坡的坡度由原来的1∶2改为1∶2.5，已知坝高6米，坝长50米，求：（1）加宽部分横断面AFEB的面积；（2）完成这一工程需多少土方？四、课堂小结：利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；（2）根据条件的特点，适当选用锐角三

8、角形函数等去解直角三角形；（3）得到数学问题的答案；（4）得到实际问题的答案．五、布置作业：1、P79习题28.2第9、10题；2、《基础训练》