21.3 实际问题与一元二次方程 （封面问题）

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1、21.3实际问题与一元二次方程（探究3）——封面设计教学目标1．掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．2．利用提问的方法复习几种特殊图形的面积公式来引入新课，解决新课中的问题．3．经历将实际问题抽象为数学问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述．4.培养学生建模思想，以及合作探究的能力教学重点根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题教学难点根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型教学过程一、创设情境导入新课上一节，我们学习了解决“平均增长(下降)率问题”，现在，我们要学习解决

2、“面积问题”．首先我们先来复习两个问题1.列方程解应用题的一般步骤2.一些基本图形的面积公式（1）直角三角形的面积公式是什么？一般三角形的面积公式是什么呢？（2）正方形的面积公式是什么呢？长方形的面积公式又是什么？（3）菱形的面积公式是什么？（4）平行四边形的面积公式是什么？（5）圆的面积公式是什么？学生口答，教师点评．二、问题探究新课教学现在，我们根据刚才所复习的面积公式来建立一些数学模型，解决一些实际问题．探究3：如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、

3、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位）？（学生读题）思考：（1）本题中有哪些数量关系？（2）如何理解正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形？（3）如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？（4）解方程并得出结论，并对比其中方法各有什么特点分析：依据题意可知，封面的长宽之比是27∶21＝9∶7，中央的矩形的长宽之比也应是9∶7．设中央的矩形的长和宽分别是9acm和7acm，由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是(27－9a)∶(21－7a)＝9(3－a)∶7(3－a)＝9∶7．设上、下边衬的宽均为9xcm，则左、右边衬的宽均为

4、7xcm，则中央矩形的长为(27－18x)cm，宽为(21－14x)cm．要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，则中央矩形的面积是封面面积的四分之三．于是可列方程(27－18x)(21－14x)＝×27×21．整理，得16x2－48x＋9＝0解方程，得x＝，即x1≈2.8，x2≈0.2．所以，9x1＝25.2cm（不合题意，舍去），9x＝1.8cm，7x＝1.4cm．因此，上、下边衬的宽均为1.8cm，左、右边衬的宽均为1.4cm．思考：如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题？请你试一试．（学生分组讨论，教师适时加以点拨，学生解答问题的同时

5、尝试列出方程，解方程，并讨论方程根的合理性）三、交流评价探究方法同组交流你还有其他解题方法么？讨论并板演间接设未知量的方法解法二:设正中央的矩形两边分别为9xcm，7xcm依题意得解得：故上下边衬的宽度为:左右边衬的宽度为:（让学生体会不用设未知数方法的便捷程度，但是无论用哪种方法，一定要注意检验方程的根是否符合实际意义）四、尝试应用某中学为方便师生活动，准备在长30m，宽20m的矩形草坪上修两横两纵四条小路，横纵路的宽度之比为3：2，若使余下的草坪面积是原来的四分之三，则路宽应是多少？（列出方程即可）（30-2x∙2)(20-3x∙2)=30x20x34（尝试应用新

6、知解决问题）五：中考链接图4如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动.（1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米？（2）点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半.若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由（通过中考链接让学生感悟面积问题在中考中的应用，并结合动点问题，增强学生对中考数学的自信心）六：课堂小结本节课你有什么收获和疑惑学会了哪些数学思想方法本节课应掌握：利用已学的特

7、殊图形的面积公式建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．七、精选作业习题21.3第8、题．（备用题）.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm.点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤6）.那么当t为何值时，ΔQAP的面积等于8平方厘米？