21.3 实际问题与一元二次方程（3）

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1、21.3实际问题与一元二次方程（3）【学习目标】1.根据面积的等量关系建立一元二元方程数学模型并解决实际问题；2.通过一题多解使学生体会列方程的实质，培养灵活处理问题的能力.【学情分析】学生已经掌握了某些几何图形的面积以及体积的计算方法；同时对实际问题与一元一次方程的知识有了一定的了解和掌握.【重点难点】重点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题；难点：设“元”的灵活性和对解的理解.【教学过程】【导入】温故而知新（1）矩形的长和宽分别为am和bm，则其面积为_______m2，周长为_______m.（2）梯形的上、下底分别为acm和bc

2、m，高为hcm，则其面积为_______cm2.（3）圆的半径为rcm，则其面积为_______cm2，周长为_______cm.（4）长方体的长、宽、高分别是acm，bcm和ccm，则其体积为______cm3.【活动】问题探究如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1cm）？【讲授】认真分析，总结方法解法一：（分析：由题意可知，中央矩形的长宽之比等于封面的长宽之比为9：7，由此判定，上下边衬宽与左右

3、边衬宽之比为9：7，设上、下边衬的宽均为9xcm，则左、右边衬的宽均为7xcm，依题意，则中央矩形的长为（27-18x）cm，宽为___________cm．因为四周的彩色边衬所点面积是封面面积的，则中央矩形的面积是封面面积的_______.）设上、下边衬的宽均为9xcm，则左、右边衬的宽均为7xcm，根据题意，得____________________整理得：__________________________解得：______________,______________.所以上、下边衬的宽度为______________，左、右边衬的宽度为______________.

4、(如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题？)解法二：（分析：这本书的长、宽之比是9∶7，根据题意，得正中央的矩形相邻两边之比也为9∶7，设正中央的矩形相邻两边长分别为9xcm，7xcm，因为四周的彩色边衬所点面积是封面面积的，则中央矩形的面积是封面面积的____）设正中央的矩形相邻两边长分别为9xcm，7xcm，根据题意，得____________________．解得：解得：______________,______________.所以上、下边衬的宽度为______________，左、右边衬的宽度为______________.【合作】新知应用，典例精

5、讲例1：利用一元二次方程解答体积问题如图，是一块长方形铁板，长是宽的2倍，如果在4个角上各截去一个边长为5m的小正方形，然后把四边折起来，做成一个没有盖的盒子，盒子的容积是3000m3，求该长方形铁板的长和宽．（点拨：根据长方形铁板的长是宽的2倍，设宽为xm，则长为2xm，再根据长方体的体积公式列方程，解一元二次方程即可．）例2：利用一元二次方程解答面积变化问题如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD(围墙MN最长可利用25m)，现在已备足可以砌50m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2.（点拨：根据可以砌50m长的墙

6、的材料，即总长度是50m，设AB＝xm，则BC＝(50－2x)m，再根据矩形的面积公式列方程，解一元二次方程即可．）【练习】当堂检测1.用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为()A．x(5＋x)＝6B．x(5－x)＝6C．x(10－x)＝6D．x(10－2x)＝62.从正方形铁片截去2cm宽的一条长方形，余下的面积是48cm2，则原来的正方形铁片的面积是____.3.有一张长方形的桌子，长6尺，宽4尺，有一块台布的面积是桌面面积的2倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相同，求台布的长和宽各是多少?【活动】

7、课堂小结1.经过本节课的学习，有哪些收获？2.如何利用几何图形的相关知识建立一元二次方程数学模型并运用它解决实际问题.【作业】作业布置1.必做题：课后习题21.3第8题2.选做题：（道路问题）学校课外生物小组的试验田是一块宽为20米,长为35米的矩形,为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小路要使耕地的面积为600平方米,道路的宽应为多少?（精确到0.1米）