随机过程方兆本1.2条件期望和矩母函数

《随机过程方兆本1.2条件期望和矩母函数》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、§1.2条件期望和矩母函数对于离散型随机变量X和Y.一般,对所有使P{Y=y}>0的y,定义给定Y=y时X取x的条件概率为而给定Y=y,X的条件分布函数为给定Y=y,X的条件期望为对于一般的连续型随机变量Y.由于P{Y=y}往往为0,则给定Y=y时X的条件概率定义为:①若对任何包含y的小区间y总有P(Yy)=0,则定义为P(XA

2、Y=y)=0;②若P(Yy)>0,则定义为这里y0的意思是使包含y的小区间的长度缩小为0.除了个别例外的y值这一极限总是存在的.而给定Y=y,X的条件分布函数为如果存在一非负函数f(x

3、y)使得对任何集合A恒有且则f(x

4、y)称为在给定Y=y时X的

5、条件密度.显然有条件期望通常统一记为注:E(X

6、Y=y)表示一个数值;E(X

7、Y)表示随机变量.例1.8袋子中有3个相同的球,分别标号为1,2,3.现从中随机地取出一个球,记下标号(假设标号为k)后放回,同时从袋子中去掉标号为1,…,k-1的球.然后再随机地取一球记下标号.分别用X和Y表示两次取球记下的标号,则E(Y

8、X)22.53Pr1/31/31/3例1.9扔一硬币出现正面的概率为p,独立地做投币试验.记S为n次试验中出现正面的次数,并设首次出现正面是在第T次试验.求给定n次试验中仅出现了一次正面时变量T的条件概率分布,也即P(T=k

9、S=1).解:所以命题1.1①若X与Y独立,则E(

10、X

11、Y=y)=E(X);②条件期望的平滑性③对随机变量X,Y的函数(X,Y),有证明:③假设(X,Y)为离散型随机变量,则矩母函数及生成函数定义1.5随机变量X的矩母函数定义为随机变量exp{tX}的期望,记作g(t),即:矩母函数的性质:①当矩母函数存在时它唯一地确定了X的分布;②E[Xn]=g(n)(0),n1;③对于相互独立的随机变量X与Y,则gX+Y(t)=gX(t)gY(t).注:由于随机变量的矩母函数不一定存在,因此现在常用特征函数E[eitX]代替矩母函数.关于特征函数内容以及性质1,可以参阅安徽师范大学数学系主编的教材:[1]丁万鼎等,概率论与数理统计,上海:上海科学技

12、术出版社,1988.常见分布的矩母函数:分布名称概率分布或密度矩母函数二项分布B(n,p)Poisson分布Π()正态分布N(,2)指数分布P()均匀分布U[a,b]解:先算条件期望例1.10(随机和的矩母函数)记X1,X2,…为一串独立同分布的随机变量,N为取值为非负整数的随机变量,且N与X序列相互独立.求Y的矩母函数.于是有进一步,因此,注意:g(0)=1定义1.5若X为离散随机变量,则期望E(sX)为其概率生成函数,记作X(s),即:生成函数的性质:①生成函数与离散随机变量是一一对应的;②③对于相互独立的随机变量X与Y,则X+Y(s)=X(s)Y(s).性质:若离散随

13、机变量分布为则证明:事实上,课外作业：Page13Ex13，14，15，17