基础课教学与创新精神

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1、基础课教学与创新精神科学活动最本质的特点就是创新或创造.教学活动必须是最具有创造性的活动.因此,应该从教学活动的内在特点来理解如何培养学生的创造性•创造性不是“教”出来的，而是在整个教与学的全过程中自然形成，或者说，熏陶而成的.创造性宁可说是一种心理素质，一种为人处事的态度或者习惯;它是一种最为宝贵的素质：创造始于不满足，始于否定.创造始于自信.创造始于脚下的每一步.创造成于从心所欲不逾矩.以小平邦彦的书为例:小平邦彦是谁？1915-1997,是日本20世纪最伟大的数学家之一.是少有的同时获得Fields奖(1954)和Wolf奖(1984-19

2、85)的数学家之一.此书是他写的教材•日文本初版于1991年(岩波书店出版)，当时他已经76岁高龄，于1975年在东京大学退休后，在学习院大学任教.此书应是他的晚年著作•他在晩年还主编了一套日本高中教材，被美国数学会译为英文，获得广泛好评.这一位如此高龄以及地位如此崇高的大数学家所写的书充满了创新精神！对于我们如何创造性地做好基础课教学是很好的范例.下面从这本书里举几个例子，来说明我们关于教学中的创新的观点.1.尽早地比较系统地引入复数复数与实数的“微积分”真正地表现出本质的区别，应该从哥西一黎曼方程以及哥西定理开始•本书从变量与函数的概念开始就

3、打破了二者的界限，这样做有许多优点：•更深刻地表现了数学的统一性.•更符合历史发展的实际情况.•及早介绍欧拉公式d"=cos&+isin&.十分方便教学，特别是后续课程和其他学科的课程的教学•举一个例子1.对于微积分的重要问题给出了比一般教材更加精细更加充分的处理现在以一致收敛的函数项级数的逐项积分为例•先看一个习题（出自原书I,247页第42题）“举例说明，存在满足J/；Q）dx=l,并且在区间［0,+切上一致收敛于0的连续函数序列.答案其实不难，例如取几⑴二丄/-I,ff^dx=1即可要点何在？•某个区间上的连续函数的一致收敛序列容许在积分号

4、下求极限，应该限制于此区间为紧（通常教材上总说“有界闭区间）.•紧性的作用•现在通用的教材的一个通病在于没有看到紧性的极端重要性・・•c（/）当I非紧时不一定是巴拿赫空间•它的对偶空间更是一个麻烦问题.•这个问题与构造广义函数（如5函数）的关系.•自变量兀变为丄兀（或加0与函数值变为丄f（或时）在几nn何形象上互为“逆变”・•还有没有其他的联系？如果说以上只是我们对于这个题目的“教学建议”，下面则是原书作者关于积分号下取极限的问题进一步展开•原书1,197页给出了以下定理：“定理5.10（Arzela定理）设在闭区间［。,列上，函数71=1,2,

5、3,…连续，并且一致有界，即存在不依赖于斤的常量M,使得在［d,b］上恒有

6、厶（x）

7、

8、好处？•本书把这个定理用于含参数的积分在积分号下求导数（见原书D,267页定理6.19）•关于交换极限次序的问题，就我所见,本书是最清楚明确而且不繁琐的一本.•本书非常注意前瞻性•如上所述，已经尽可能早地引入复数，应用线性代数的概念（如向量，矩阵等等）解决微积分的问题，现在还与所谓“精密分析”连接起来.1.不但瞻前，而且顾后•我国的情况是:进了大学就忘了中学;大学数学系毕业以后去教中学时，又觉得大学学的东西完全没有用（实际上是不会用）;大学数学系很少想到担任中学教师是很大一部分学生的出路，培养合格的中学教师是大学不应推辞的义务例如可以问一个问题：

9、•“定义”M=畅对不对？答案应该是：不对•因为这个式子的左方把幕的指数写成了分数，就是隐含地承认了:右方根号的两个指数的关系恰好是分子与分母的关系•这恰好就是需要证明的.本书的定义方法（我作了一些改动）是：“定义”这种有理数指数舉为方程M的唯一正实数根•再证明m和p恰好是分母和分子的关系•所以这个根可以合理地写为肝化•当加，斤是一般的有理数时如何证明？以上可见本书I,72-88页.从这几个例子看:小平邦彦的书有哪些优点和创新？1.抓住了数学内容的不断发展的实质，而不是把它看成固定不变的，不可逾越的，也不停留在形式推导的表面上；努力建立数学各个部分

10、的发展和相互联系，而不是把作为一个整体的数学过度地划分为互不相关的"分支"・1.提供了许多问题的新的处理方法，使我们不会误认为“数学（具