追本溯源变式拓展

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1、追本溯源变式拓展——例谈中考压轴题的变式教学朱桂平(江苏省泰州市九龙实验学校)【摘要】压轴题是中考试题的制高点,如何攻克这个制高点？靠题海战术不行，就题讲题更不行.解数学题的关键是确立思路，思路从何而來？寻找解题思路就是把待解决的问题归结为一类熟悉的模型，对各类模型的融会变通，有助于解题能力的提高.追木溯源，再对原题进行变式、拓展，有助于学牛解题能力的提高.【关键词】中考压轴题;模型；联想；变式；拓展怎样解中考压轴题？关键是确立解题思路.中考复习过程中，如何教会学生确立解题思路呢？仅靠题海战术绝非良策，而就题讲题只会狭隘学生的思维，当遇到新的

2、题型时，学生就无所适从了！结合多年的实践与反思，笔者以为，应当指导学生学会提取不同题口的模型,准确洞察各类问题的本质，在融会理解的基础上进行变式、拓展，掌握通性通法,才能切实提高学生解决压轴题的能力.下面以2013泰州屮考第25题为例谈谈压轴题的变式教学.原题呈现：如图1,矩形ABCD中，点P在边CD图1上，且与点C^D不重合，过点A作AP的垂线与CB的延长线相交于点Q,连接PQ,PQ的中点为M.(1)求证：AADP^AABQ；(2)若AD=10,AB=20,点P在边CD上运动，设DP=x,BM2=y,求y与x的函数关系式，并求线段BM长的最

3、小值;(3)若AD=10,AB二a,DP=8,随着。的大小的变化，点M的位置也在变化，当点M落在矩形ABCD外部时，求a的取值范围.从教学策略方而考虑，讲解压轴题可以直接呈现原题，也可以由教师捉取与原题有关的模型作为教学素材.通过对一类模型的分析、理解、变通，能让学生理清解题思路，由“做一题”，到“会一类”，最终“通一片”，也就是获得通性通法.1.追本溯源模型的提取一般通过联想來实现，模型可以是课木上出现的题目，也可以是几何屮的基本图形、代数方面的基本类型以及常见的数学思想方法.模型的提取有利于学生确立解题思路，BIJ：从何处下手，向何方前进

4、.木题的模型是“直角顶点处直角的旋转”，源自苏科版《义务教育课程标准实验教科书•数学》八年级上册76页习题2.追本溯源:如图2,P为正方形ABCD的边CD上一点,将△ADP绕点A顺时针方向旋转90°得到△ABQ,连接PQ,试判断AAPQ的形状.（解析略）【设计思路】提取以正方形为背景的模型，是一次曲一般到特殊转化的过程，旨在通过对特殊图形的研究，把特殊图形的解题策略迁移到一•般图形•小考复习的重要任务就是帮助学生将知识系统化，给学生一些规律性的东西，以捉供联想的素材，为确立解题思路服务.2.模型变式在平时的教学中，进行习题变式的教学，特别是课

5、本习题的变式教学，不仅能加深基础知识的理解和掌握，更重要的是在开发学生智力，有助于培养学生的发散思维和创新思维.结合上面呈现的原题，对模型进行相应的变式，可以更好地发挥模型的作用.通过对特殊情形的深入研究，有利于解决一般的问题.变式1：如图3,若M为PQ的屮点，可以设计以下几个问题：(1)M在△ABQ的外接圆上；(2)B、M、D三点共线；(3)PC=72BM；【设计思路】(1)结合原题，可知M是直角三角形APQ斜边上的中点.在模型中，由于AAPQ是等腰直角三角形，可以发现AM丄PQ,再结合题口小的直角三角形ABQ,问题(1)随之构建.(2)进

6、一步观察可以发现，B、M、D可能在同一条直线上，怎么去验证呢？结合第(1)小题的结论得：ZABM=ZAQM=45°，而ZABD二45°,所以B、M、D三点共线.在教学吋，可以引导学生去观察、猜想，从而提出问题，进而解决提出的问题.(3)继续分析图形的特征，把目光集中在直角三角形PQC中，BM与PC是否存在什么关系呢？此时M为关键点,如图4,作MN丄BC于N,则MN为AQPC的中位线,△BMN为等腰直角三角形(基本图形).容易得到PC=V2BM.当然，这个结论述可以通过分析、联想，证厶APC-AAMB得到.对模型的变式可以让学生进一步熟悉图形的

7、特征，帮助学生借助模型解决不同的问题，为解决原题做好铺垫.1.原题解析(1)与模型比较，原题的背景变为矩形，解题策略由全等到相似，从特殊到一般，方法相通.(1)±B/V2=y这个特别的条件展开联想，通过提问，引导学生提取“直角三角形”的模型，并运用勾股定理解决问题.如图4,作MN丄QC于N,可得：y=MN2+BN?,结合第(1)题的结论与中位线的特征，可以用x表示出线段MN和BN,可得：y=-x2-20x+125(0

8、题时，应当强调“符号思想”在解决几何问题时的重要作用，齐种数学思想方法也是重要的数学模型.(2)木题可以运用“特殊值思想”灵活解答：如图5,当点PQ中点M落在AB上