量子课件9散射理论

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1、第六章散射理论§6-1一般描述一、引言：散射（又称碰撞),讨论的是微观粒子之间的散射过程。散射实验是研究微观粒子运动规律，粒子之间相互作用以及粒子内部结构的重要手段。例如：卢瑟福通过α粒子在原子上的弹性散射实验证实了原子的有核结构；近代高能电子在核子上的非弹性散射实验证实了基本粒子的有心结构，即基本粒子由更小的粒子——夸克组成。目前，世界各地建造的各种高能粒子加速器，包括北京正负电子对撞机，都是为散射实验设计的。在散射实验中，具有一定动量（能量）的粒子，沿确定的方向射向靶粒子，由于受到靶子的作用而发

2、生偏转，然后射出。实验上就是对出射粒子的角分布、能量等进行观测。入射粒子与靶子的相互作用只在空间一个小区域中才较显著。入射粒子束的制备与出射粒子的探测均在此作用力程之外。因此，入射粒子（初态）及出射粒子（末态）均处在自由粒子状态。实际上散射过程是由于空间小区域中的相互作用而导致的粒子从一个自由态到另一个自由态的跃迁，散射的重要任务之一就在于把角分布等观测量与相互作用及粒子的内部结构联系起来。前面讲的势垒贯穿问题是一维散射问题，现讨论三维空间中的散射问题。弹性碰撞和非弹性碰撞：如在碰撞过程中，两粒子间

3、只有动能的交换而粒子内部状态并无改变则称这种碰撞为弹性碰撞（或弹性散射），否则称为非弹性碰撞。我们在下面只讨论前者。另外，碰撞问题是一个两体问题，为计算方便，通常在理论计算中，与经典力学类似——化两体问题为单体问题。（两粒子的碰撞归结为一粒子受一力场的散射！）即理论计算在质心系中，而实际观测在实验室坐标系中。两种坐标系之间的关系见6.5节。二、散射截面考虑一粒子流，沿着z轴向粒子A射来，A称为散射中心。设粒子A的质量比入射粒子的质量大得多，则由于碰撞而引起的A的位移可忽略，入射粒子受到A的作用而偏离

4、原来的运动方向，发生散射，粒子被散射后的运动与入射方向之间的夹角为θ。θ为散射角。入射粒子流强度N：单位时间内穿过垂直于粒子前进方向上单位面积的粒子数。则单位时间内散射到（θ，φ）方向上立体角dΩ内的粒子数dn应与N，dΩ分别成正比即：写成等式：比例系数当强度N固定时，单位时间内散射到方向上的粒子数dn由比例系数决定。一般说来，应与入射粒子、散射中心的性质以及它们之间的相互作用和相对动能有关。由(1)式得：它表示：单位时间内一个入射粒子受A的作用被散射到方向上单位立体角内的几率，通过量纲分析可知，具

5、有面积的量纲，故称之为微分散射截面。将对所有可能的方向积分，得到总散射截面表示一个入射粒子被散射的几率（不论哪个方向）。特别对于中心力场的散射，由于势场相对于z轴对称，应与无关，则：（在质心系中）取散射中心为坐标原点，用表示入射粒子与散射中心之间的相互作用势，体系的波函数满足薛定谔方程：由于观察被散射的粒子都是在离开散射中心很远的地方，所有只讨论时的行为就够了。一部分是描写入射粒子的平面波：假设，即粒子远离散射中心时，两者之间的相互作用。（只有在r很小的范围内入射粒子受到靶粒子—即势场的作用出现散射

6、波），这样在的地方，应由两部分组成：另一部分是描写散射粒子的球面波：为散射振幅。为沿方向传播出去的散射波的振幅这个波是由散射中心向外传播的，所以由于我们仅考虑弹性散射，所以散射波的能量没有改变，即波矢的数值不变（由于势场的散射，使粒子只改变了原来的运动方向。即在单位体积内找到粒子的几率为1，这表明每单位体积内只有一个入射粒子，入射波（只沿z轴）的几率流密度为：这也就是入射粒子流密度，即(1)中的N，若单位面积内有m个入射粒子，则入射粒子几率流密度为mv，而这时散射的几率流密度为：它表示单位时间内穿过

7、半径为r的球面上单位面积上的粒子数。所以穿过球面上ds面的粒子数为：由于N=v，将(8)式与(1)式比较得这样求散射截面的问题就归结为求散射振幅的问题了，而的具体形式要通过在条件(6)下解薛定谔方程(5)得出：§6.2分波法在中心力场情况下，由于与θ、φ无关，则描写中心力场中散射问题的薛定谔方程为：所满足的边界条件为：取沿粒子入射方向并通过散射中心的轴线为极轴，这个轴是我们所讨论问题中的旋转对称轴，波函数ψ和散射振幅f(θ)都与φ无关。由原来对中心力场的讨论得⑴式的一般解为：因为ψ(r)与φ无关，所

8、以m=0，则上式变为：在这个展开式中，每一项称为一个分波，是第l个分波，每个分波都是方程⑴的解，通常称l=0,1,2,……的分波分别是s,p,d,……分波，相应的散射称为s散射，p散射等。把代入⑴式，左乘并对角度部分积分，注意到是的本征函数（本征值为）和的正交归一性，得到径向函数满足的下列径向方程：由假设，⑷式变为：则有：其解为：为方便，令将⑽式代入⑹式，再代入⑶式得⑴式在的渐近解为：将这渐近解与在时应满足的边条件⑵式比较，以便求出.为便于比较，需将平面波按球面波展开