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1、图1图3函数中求最短距离问龜最值问题是初小数学的重要内容，也是一类综合性较强的问题，它贯穿初屮数学的始终，是中考的热点问题，它主要考察学牛:对■平吋所学的内容综合运用，无论是代数问题还是几何问题都有最值问题，在中考压轴题中出现比较鬲的主耍有利用重要的几何结论(如也点Z间线段最短、L角形两边z和大丁•笫二:边、两边Z差小丁•笫厂边、垂线段授短等)。利川一次函数和二次函数的性质求最值。一、“最值”问题大都归于两类基本模型：I、归于函数模型:即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性，确定某范围内函数的最大或最小值II、归于几何模型,这类模型乂分为两种情况：(1)归于“两点之间的连线中，
2、线段最短”。凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型。(2)归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”吋，大都应用这一模型。几何模型：条件：如图，A、B是直线/同旁的两个定点.问题：在直线/上确定一点P,使PA+PB的值最小.方法：作点A关于直线/的对称点A,连结AB交/于点P,则PA+PB二A'B的值最小(不必证明).模型应用：(1)如图1,正方形ABCD的边长为2,E为的中点，P是AC上一动点.连结3D,由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称.连结ED交AC于P,则PB+PE的最小值是；(2)如图2,OO的半径为2,点A、B、C在上，04
3、丄OB,ZAOC=60°fP是OB上一动点，求PA+PC的最小值；(3)如图3,ZAOB=45°fP是ZAOB内一点，PO=10,Q、R分别是04、OB上的动点，求△PQR周长的最小值.解：(1)PB+PE的最小值是DE=y/5(2)PA+PC的最小值是2術(3)PQR周长的最小值是10血例题讲解：例］.如图,已知点水-4,8)和点M2,刀)在抛物线y=ax2±.(1)求&的值及点〃关于/轴对称点戶的处标，并在/轴上找一-点0,使得A&QB最短，求出点0的处标；(2)平移抛物线尸如彳，记平移后点/的对应点为才，点〃的对应点为F，点C(-2,0)和点〃(-4,0)是龙轴上的两个定点.①当
4、抛物线向左平移到某个位置吋，AfC+CR最短，求此吋抛物线的函数解析式；②当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形彳B'皿的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由.解：⑴将点水-4,8)的坐标代入尸祇2,解得a=l……1分将点从2,刀)的坐标代入y=求得点〃的坐标为(2,2),2则点$关于戈•轴对称点户的绝标为(2,-2)•……1分直线〃的解析式是y=—
5、x+吕.1分44令尸0,得兀即所求点0的坐标是(兰，0).……1分⑵①解法1：CQ-
6、-2--
7、=—,……1分故将抛物线y=^x2向左平移#个单位时，才&CB最短，……2分此时抛物线的函数解析式为
8、y=-(x+-)2.……1分25解法2：设将抛物线)•，=丄/向左平移刃个单位，则平移后/，〃‘的坐标分别为Af(-4-/77,28)和(2-仙2),点才关于x轴对称点的坐标为才，(-4-皿-8).总线彳'B'的解析式为y=-x+-w-—.1分333要使才acff最短，点C应在直线才'B'上，……1分将点^(-2,0)代入直线才'B9的解析式，解得m=—・……15分故将抛物线y=-x2向左平移兰个单位时才aCB'最短，此时抛物线的函数解析式为y=^U+y)2-1分②左右平移抛物线y=
9、x2,因为线段才〃和G?的长是定值，所以要使四边形才£CD的周长最短，只要使才DVCB1最短；……1分第
10、一利储况：如來将抛物线向右平移，显然有才陕CB‘〉A陕CB,因此不存在某个位置，使四边形才ff切的周长最短.……1分第二种情况:设抛物线向左平移了方个单位，则点才和点F的坐标分别为Af(-4-/7,8)和B'(2-方,2).因为CM,因此将点〃'向左平移2个单位得Cb,2),要使彳IACB'最短，只要使才陕DB「最短.……1分点才关于x轴对称点的坐标为Af1(-4-6,-8),直线AffB'f的解析式为y=^x+-b+2.要使彳DDB「最短，点〃应在直线22L上，将点22(-4,0)代入直线才'的解析式，解得b=-.5故将抛物线向左平移时，存在某个位置，使四边形冷B1仞的周长最短，此时
11、抛物线的函数解析式为+.……1分25例2、如图，已知直线y=—x+1与y轴交于点A,与x轴交于点D,抛物线y=-x2+bx+c与直线交于A、E两点，与兀轴交于B、C两点，且B点坐标为（1,0）o⑴求该抛物线的解析式；⑵动点P在x轴上移动，当APAE是直角三角形时，求点P的坐标P。⑶在抛物线的对称轴上找一点M,使
12、4M-MC
13、的值最大，求出点M的坐标。1解得＜—+/?+c=0〔2b=--2c=1由RtDOOA21.1=即_=—,..a
