函数中求最短距离问题.doc

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1、函数中求最短距离问题最值问题是初中数学的重要内容，也是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中考的热点问题，它主要考察学生对平时所学的内容综合运用，无论是代数问题还是几何问题都有最值问题，在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论（如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等）。利用一次函数和二次函数的性质求最值。一、“最值”问题大都归于两类基本模型：Ⅰ、归于函数模型：即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性，确定某范围内函数的最大或最小值Ⅱ、归于几何模型，这类模型又分为两种情况：（1）归于“两点之间的

2、连线中，线段最短”。凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型。（2）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型。几何模型：AB′Pl条件：如图，、是直线同旁的两个定点．问题：在直线上确定一点，使的值最小．方法：作点关于直线的对称点，连结交于点，ABEcpD图1则的值最小（不必证明）．模型应用：（1）如图1，正方形的边长为2，为的中点，OABC图2P是上一动点．连结，由正方形对称性可知，与关于直线对称．连结交于，则的最小值是___________；（2）如图2，的半径为2，点在上，OABPRQ图3，，

3、是上一动点，求的最小值；（3）如图3，，是内一点，，分别是上的动点，求周长的最小值．解：（1）的最小值是（2）的最小值是（3）周长的最小值是例题讲解：例1．如图，已知点A(-4，8)和点B(2，n)在抛物线上．　　(1)　求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使得AQ+QB最短，求出点Q的坐标；　　(2)　平移抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，点C(-2，0)和点D(-4，0)是x轴上的两个定点．①　当抛物线向左平移到某个位置时，A′C+CB′最短，求此时抛物线的函数解析式；②当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置

4、，使四边形A′B′CD的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．解：(1)将点A(-4，8)的坐标代入，解得．……1分将点B(2，n)的坐标代入，求得点B的坐标为(2，2)，则点B关于x轴对称点P的坐标为(2，-2)．　……1分直线AP的解析式是．　……1分令y=0，得．即所求点Q的坐标是(，0)．　……1分(2)①　解法1：CQ=︱-2-︱=，　……1分故将抛物线向左平移个单位时，A′C+CB′最短，……2分此时抛物线的函数解析式为．……1分解法2：设将抛物线向左平移m个单位，则平移后A′，B′的坐标分别为A′(-4-m，8)和B

5、′(2-m，2)，点A′关于x轴对称点的坐标为A′′(-4-m，-8)．直线A′′B′的解析式为．……1分要使A′C+CB′最短，点C应在直线A′′B′上，……1分将点C(-2，0)代入直线A′′B′的解析式，解得．……1分故将抛物线向左平移个单位时A′C+CB′最短，此时抛物线的函数解析式为．……1分②　左右平移抛物线，因为线段A′B′和CD的长是定值，所以要使四边形A′B′CD的周长最短，只要使A′D+CB′最短；……1分第一种情况：如果将抛物线向右平移，显然有A′D+CB′>AD+CB，因此不存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短．……1分第二种情

6、况：设抛物线向左平移了b个单位，则点A′和点B′的坐标分别为A′(-4-b，8)和B′(2-b，2)．因为CD=2，因此将点B′向左平移2个单位得B′′(-b，2)，要使A′D+CB′最短，只要使A′D+DB′′最短．　……1分点A′关于x轴对称点的坐标为A′′(-4-b，-8)，直线A′′B′′的解析式为．要使A′D+DB′′最短，点D应在直线A′′B′′上，将点D(-4，0)代入直线A′′B′′的解析式，解得．故将抛物线向左平移时，存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短，此时抛物线的函数解析式为．……1分例2、如图，已知直线与轴交于点A，与轴交于点D

7、，抛物线与直线交于A、E两点，与轴交于B、C两点，且B点坐标为(1，0)。⑴求该抛物线的解析式；⑵动点P在x轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标P。⑶在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最大，求出点M的坐标。解:（1）将A（0，1）、B（1，0）坐标代入得解得∴抛物线的解折式为…（2分）（2）设点E的横坐标为m，则它的纵坐标为即E点的坐标（，）又∵点E在直线上∴解得（舍去），∴E的坐标为（4，3）（Ⅰ）当A为直角顶点时过A作AP1⊥DE交x轴于P1点，设P1（a,0）易知D点坐标为（－2，0）由Rt△AOD∽Rt△POA得即，∴a＝∴P1（，0）（Ⅱ

8、）同理，当E为直角顶点时，P2点坐标为