利用轴对称求最短距离问题

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1、word资料下载可编辑利用轴对称求最短距离问题基本题引入:如图(1),要在公路道a上修建一个加油站,有A,B两人要去加油站加油。加油站修在公路道的什么地方,可使两人到加油站的总路程最短?你可以在a上找几个点试一试,能发现什么规律?a·A·B图1·A·Ba·A′M图2·A·Ba·A′MN图3思路分析:如图2,我们可以把公路a近似看成一条直线,问题就是要在a上找一点M,使AM与BM的和最小。设A′是A的对称点,本问题也就是要使A′M与BM的和最小。在连接A′B的线中,线段A′B最短。因此,线段A′B与直线a的交点C的位置即为所求。如图3

2、,为了证明点C的位置即为所求,我们不妨在直线a上另外任取一点N,连接AN、BN、A′N。因为直线a是A,A′的对称轴,点M,N在a上,所以AM=A′M,AN=A′N。∴AM+BM=A′M+BM=A′B在△A′BN中,∵A′B<A′N+BN∴AM+BM<AN+BN即AM+BM最小。点评:经过复习学生恍然大悟、面露微笑,不一会不少学生就利用轴对称知识将上一道中考题解决了。思路如下:②∵BC=9(定值),∴△PBC的周长最小,就是PB+PC最小.由题意可知,点C关于直线DE的对称点是点A,显然当P、A、B三点共线时PB+PA最小.此时DP

3、=DE,PB+PA=AB.由∠ADF=∠FAE,∠DFA=∠ACB=90°,得△DAF∽△ABC.EF∥BC,得AE=BE=AB=,EF=.∴AF∶BC=AD∶AB,即6∶9=AD∶15.∴AD=10.Rt△ADF中,AD=10,AF=6,∴DF=8.∴DE=DF+FE=8+=.∴当x=时,△PBC的周长最小,y值略。专业技术资料word资料下载可编辑数学新课程标准告诉我们:教师要充分关注学生的学习过程,遵循学生认知规律,合理组织教学内容,建立科学的训练系统。使学生不仅获得数学基础知识、基本技能,更要获得数学思想和观念,形成良好的数

4、学思维品质。同时每年的中考题也千变万化,为了提高学生的应对能力,除了进行专题训练外,还要多归纳多总结,将一类问题集中呈现给学生。一、两条直线间的对称题目1如图,在旷野上,一个人骑马从A出发,他欲将马引到河a1饮水后再到a2饮水,然后返回A地,问他应该怎样走才能使总路程最短。点评:这道题学生拿到时往往无从下手。但只要把握轴对称的性质就能迎刃而解了。作法:过点A作a1的对称点A′,作a2的对称点A〞,连接A′A〞交a1、a2于B、C,连接BC.所经过路线如图5:A-B-C-A,所走的总路程为A′A〞。ACBEDBCa1a2A′A″A第1

5、题图第2题图二、三角形中的对称题目2如图,在△ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,D是BC边上的中点,E是AB边上的一动点,则EC+ED的最小值是__点评:本题只要把点C、D看成基本题中的A、B两镇,把线段AB看成燃气管道a,问题就可以迎刃而解了,本题只是改变了题目背景,所考察的知识点并没有改变。三、四边形中的对称题目3如图,正方形ABCD的边长为8,M在DC上,且DM=2,N是AC上的动点,则DN+MN的最小值为多少?点评:此题也是运用到正方形是轴对称图形这一特殊性质,点D关于直线AC的对称点正好是点B,最小值为MB=10

6、。专业技术资料word资料下载可编辑MADBCN第3题图第4题图四、圆中的对称题目4已知:如图,已知点A是⊙O上的一个六等分点,点B是弧AN的中点,点P是半径ON上的动点,若⊙O的半径长为1,求AP+BP的最小值。EFGB′AC·BH点评:这道题也运用了圆的对称性这一特殊性质。点B的对称点B′在圆上,AB′交ON于点p′,由∠AON﹦60°,∠B′ON﹦30°,∠AOB′﹦90°,半径长为1可得AB′﹦。当点P运动到点p′时,此时AP+BP有最小值为hAB第5题图1第5题图2五、立体图形中的对称题目5如图1是一个没有上盖的圆柱形食品

7、盒,一只蚂蚁在盒外表面的A处,它想吃到盒内表面对侧中点B处的食物,已知盒高h=10cm,底面圆的周长为32cm,A距离下底面3cm.请你帮小蚂蚁算一算,为了吃到食物,它爬行的最短路程为cm.点评:如图2,此题是一道立体图形问题需要转化成平面问题来解决,将圆柱的侧面展开得矩形EFGH,作出点B关于EH的对称点B′,作AC⊥GH于点C,连接AB′。在Rt△AB′C中,AC﹦16,B′C﹦12,求得AB′﹦20,则蚂蚁爬行的最短路程为20cm。通过变式训练既解决了一类问题,又归纳出了最本质的东西,以后学生再碰到类似问题时学生就不会不知所措

8、。同时变式训练培养了学生思维的积极性和深刻性,发展了专业技术资料word资料下载可编辑学生的应变能力。综上所述,引导学生在熟练掌握书本例题、习题的基础上,进行科学的变式训练,对巩固基础、提高能力有着至关重要的作用。更重要的是,变式训练

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