分析压缩感知

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1、1.引言信号采样是模拟的物理世界通向数字的信息世界之必备手段。多年来，指导信号采样的理论基础一直是着名的Nyquist采样定理。定理指出，只有当采样速率达到信号带宽的两倍以上时，才能山采样信号精确重建原始信号。可见，带宽是Nyquist采样定理对采样的本质要求。但是,对于超宽带通信和信号处理、核磁共振成像、雷达遥感成像、传感器网络等实际应用，信号的带宽变得越来越人，人们对信号的采样速率、传输速度和存储空间的要求也变得越来越高。为了缓解对信号传输速度和存储空问的压力，当前常见的解决方案是信号压缩，如基于小波变换的JP

2、EG2000标准。但是，信号压缩实际上是一种严重的资源浪费，因为大量的采样数据在压缩过程中被丢弃了，而它们对于信号来说是不重耍的或者只是兀余信息。从这个意义而言，我们得到以下结论：带宽不能本质地表达信号的信息，基于信号带宽的Nyquist采样机制是兀余的或者说是非信息的。一个很自然的问题是：是否存在或者能否提岀一种基于信息的采样理论框架，使得采样过程既能保持信号信息，乂能只需远少于Nyquist采样定理所要求的采样数目就可精确或近似粘确重建原始信号？简言之，能否同时实现信号的采样与压缩？与信号带宽相比，稀疏性能够X

3、L观地而冃相对本质地表达信号的信息。事实上，稀疏性在现代信号处理领域-直起着至关重要的作用，例如基丁稀疏性的逼近、基于稀疏性的估计、基于稀疏性的压缩、基于稀疏性的降维等。不同于Nyquist信号采样机制,Candes>Tao、RombergDonoho等人。近年来基于信号稀疏性提出一种称为压缩感知(compressedsensing)或压缩采样(compressivesampling)的新兴采样理论，成功实现了信号的同时采样与压缩。简单地说，压缩感知理论指出：当信号在某个变换域是稀疏的或可压缩的，可以利用与变换矩阵

4、非相干的测量矩阵将变换系数线性投影为低维观测向量，同时这种投影保持了重建信号所需的信息，通过进一步求解稀疏最优化问题就能够从低维观测向量精确地或高概率将确地重建原始高维信号。在该理论框架下,采样速率不再取决于信号的带宽,而在很人程度上取决于两个基本准则：稀疏性和非相干性，或者稀疏性和等距约朿性。当前，压缩感知理论主要涉及三个核心问题：(1)具有稀疏表示能力的过完备字典设计；(2)满足非相干性或等距约束性准则的测量矩阵设计；(3)快速鲁林的信号重建算法设计。上迅速兴起的热门研究方向。目前，学者们己经在模拟-佶息采样、

5、合成孔径雷达成像、遥感成像、核磁共振成像、深空探测成像、无线传感器网络、信源编码、人脸识别、语音识别、探地雷达成像等诸多领域对压缩感知展开了广泛的应用研究。值得注意的是,Rice大学己经成功设计出了一种基于压缩感知的新型单像索相机,在实践中为取代传统相机边出了实质性的一•步。丨

6、前，压缩感知理论的相关工作尚有很多亟待解决的问题，尤其是国内关于压缩感知理论的基础研究基木处于空白。为此，木文围绕稀疏字典设计、测量矩阵设计、重建算法设计三个核心问题,对压缩感知的基本理论和实现方法进行了系统阐述，同时指出了压缩感知有待解决

7、的若干理论推广和关键技术。本文结构安排如下：第2部分基于非相干性和和等距约朿性准则系统阐述了压缩感知的基本理论；第3部分系统介绍了压缩感知的三个层面的核心技术，即稀疏字典设计、测量矩阵设计、重建算法设计；第4部分指出压缩感知有待解决的若干关键问题；第5部分对全文作了总结。1.压缩感知理论的基本框架2.1信号的稀疏性定义（可压缩信号）称信号Nx丘？？在屮域是可压缩的，如杲变换向量s大部分分量的収值很小，只有少部分分量的収值很大；或者说只要少部分取值大的分量就能很好地逼近原始信号x。例如，尽管很多信号自身取值都是非零的

8、，但是在小波正交基下，信号大部分小波系数的取值都很小，只有少量的小波系数取值很大,这些大系数承载了信号的绝大部分信息。小波变换的这种稀疏性或可压缩性已被成功地川于现代图像压缩标准一JPEG2000。这种通过稀疏变换实现压缩的方法称为变换编码［1］o变换编码在现代数据获取系统中一直发挥着重要的作川，例如数码相机、数码摄相机。但是，这种采样再压缩的数据获取过程造成了严重的资源浪费，尤其对于核磁共振成像、雷达遥感成像等特殊应用。例如，TT万级像素的传感器只使用了压缩后的几HKbyte数据。2.2压缩感知问题描述考虑一•燉

9、的采样问题［23］：2.3压缩感知棊木理论在压缩感知理论中，采样速率不再取决于信号带宽，而在很大程度上取决于两个基本准则，即稀疏性和非相干性，或者，稀疏性和等距约朿性。2.3.1基于稀疏性和非相干性准则的压缩感知理论定理1显示了非相干正交基对（①％,i卩）对丁•压缩感知的重要性。不等式指出，u（①％,屮）越小，压缩采样所需的测量个数就会越少，意味看床缩测量y