2-1-1-1 平面的基本性质 课件（人教A版必修2）

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1、2．1.1平　面一、阅读教材P40～43，回答下列问题：1．因为几何里的平面是无限延展的，所以需要时可以将平面任意，通常画表示平面．2．当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住部分的线段画成．3．公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的点都在这个平面内．即这条直线在这个平面内．延展平行四边形虚线所有符号表示：A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒.如图：l⊂α4．公理2：经过的三个点，有且只有一个平面．即三点确定一个平面．5．公理3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且

2、只有一条经过的公共直线．若平面α和β有且仅有一条公共直线l，就说平面α和β，l叫做，记作.符号表示：α与β不重合，P∈α，P∈β⇒α与β有一条交线l，且P∈l.不在同一条直线上不共线这个公共点相交交线l＝α∩β二、解答下列问题1．点A在直线l上，又称直线l经过点A，记作；点A不在直线l上，又称，记作.2．点A在平面α内，又称，记作；点A不在平面α内，又称，记作.3．直线l在平面α内，又称平面α经过直线l，记作；直线l在平面α外，又称平面α不经过直线l，记作.A∈l直线l不经过点AA∉l平面α经过点AA

3、∈α平面α不经过点AA∉αl⊂αl⊄α4．直线a与b相交于点A，记作；直线l与平面α相交于点A，记作；平面α与β相交于直线l，也称作直线l是平面α与β的交线，记作.5．点A是平面α与β的公共点，能记作α∩β＝A吗？不能，因为两个平面如果有一个公共点，就必有一条经过这个公共点的公共直线，因此α∩β应表示这条公共直线，而不是一个点．a∩b＝Al∩α＝Aα∩β＝l本节学习重点：三个公理．本节学习难点：①公理的理解与应用．②点、直线、平面位置关系的符号表示与画图．1．反映平面基本性质的三个公理是研究空间中点、

4、直线、平面位置关系的最基本的依据，是构成立体几何知识体系的基础．(1)公理1反映了直线与平面的位置关系，是判定点、直线是否在平面内的依据，可运用公理一证明点、直线在平面内．(判定点在平面内的步骤是：先判定直线在平面内，点在直线上，由此得出点在平面内)；公理一的另一个作用是用来检验平面．(2)公理2是确定平面的依据，“确定”的含义是“有且仅有”．即“存在一个平面”且“只有一个平面”．(3)公理3是判定两平面相交的依据，也是证明点共线或线共点的依据．应用公理3判定点共线(或点在直线上)的步骤：点是某两个平

5、面的公共点，直线是这两个平面的交线，则点在直线上．2．要逐步熟悉用集合语言来表达空间几何元素间位置关系，掌握文字语言、符号语言和图形语言的相互转化．[例1]若点Q在直线b上，b在平面β内，则Q、b、β之间的关系可记作()A．Q∈b，b∈βB．Q∈b，b⊂βC．Q⊂b，b⊂βD．Q⊂b，b∈β[解析]解法1：(直接法)∵点Q在直线b上，∴Q∈b.∵直线b在平面β内，∴b⊂β.∴应选B.解法2：(排除法)∵点Q与直线b之间的关系是元素与集合之间的关系，∴只能用符号“∈”或“∉”表示，∴C、D应予排除．∵直

6、线b与平面β之间是集合与集合之间的关系，∴只能用符号“⊂”或“⊄”表示，∴A应予以排除．∴应选B.[点评]直线、平面都看作点的集合，但是用符号表达直线与平面之间关系时，应该用⊂或⊄，不能用⊆、等．将下面用符号语言表示的关系改用文字语言予以叙述，并画图形表示．α∩β＝l，A∈l，AB⊂α，AC⊂β.[解析]文字语言叙述为：点A在平面α与平面β的交线l上，AB、AC分别在α、β内．图形语言表示如右图．[点评]文字语言比较自然、生动，它能将问题所研究的对象的含义更加明白地叙述出来，我们教科书上的概念、定理

7、等多以文字语言叙述．图形语言，易引起清晰的视觉形象，它能直观地表达概念、定理的本质以及相互关系，在抽象的数学思维面前起着具体化和加深理解的作用，故应下功夫掌握三种语言的相互转化.[例2]已知△ABC的边AB、BC在平面α内，判断AC是否在平面α内．[解析]∵AB在平面α内，∴A点一定在平面α内．∵BC在平面α内，∴C点一定在平面α内．∴点A、点C都在平面α内．∴直线AC在平面α内(公理1)．[点评]将上述证明过程用符号表示为：∵AB⊂α，∴A∈α，∵BC⊂α，∴C∈α，∴AC⊂α.可见符号语言比文字语

8、言简捷得多，因此应加强符号语言的应用，熟练地将三种语言相互转化．三条直线a、b、c两两相交，有三个交点，已知a与b都在平面α内，求证c也在平面α内．[分析]如图，设a∩b＝D，a∩c＝F，b∩c＝E，由a⊂α可知，F∈α，由b⊂α知，E∈α，由E∈c，F∈c知，c⊂α.[解析]已知a⊂α，b⊂α，设a∩b＝D，a∩c＝F，b∩c＝E，如图．求证：c⊂α.证明：∵a∩c＝F，∴F∈c，F∈a，∵a⊂α，F∈a，∴F∈α；同理可知E∈α，∴EF⊂α，即c⊂α