分式方程与无理方程(非常规)

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1、分式方程与无理方程（非常规）例1、求方程x+＝4＋的实数解例2、解方程+=（a＞b）例3、解方程＋=x例4、解方程+2+3=（x+y+z）例5、解方程+=+例6、求方程的整数解2+=例7、已知实数x1，x2，•••xn满足==•••=，x1+x2+•••xn+++•••+=。求x1例8、已知实数a，b，c，d互不相等，且a+=b+=c+=d+=x，试求x的值例9、已知关于x的方程（a2-1）()2-(2a+7)()+1=0有实数根（1）求a的取值范围（2）若原方程的两个实数根为x1,x2,且+=，求a的值练习：1、方程-=的实数根的个数为个2

2、、如果a+b-2-4=3-c-5，则a+b+c的值为3、若方程=x有两个不相等的实数根，则实数p的取值范围是4、若实数x，y，z满足x+=4，y+=1，z+=，则xyz的值为5、满足x+y--+=2003的正整数对的个数是6、已知-=1，那么代数式+的值为7、对于x的哪些实数值，等式+=成立？8、解方程+=5分式方程与无理方程解分式方程与无理方程时，主要用到的技巧有观察法、配方法、换元法、数形结合法、韦达定理法、方程的不等式解法等。解题时，要注意从方法技巧的角度去提高分析问题、解决问题的能力。例1、求方程x+＝4＋的实数解解：显然x≥2，观察

3、方程两边，取得x=4令y=，则原方程变形为y2＋y―(2＋)=0，此方程有两个异号的实根，从而有唯一的非负根。经检验知，x=4是原方程的实数解.例2、解方程+=（a＞b）解：显然有b≤x≤a，观察知，x1=a，x2=b是原方程的解.当b＜x＜a时，有≥0，≥0以、为直角边作直角三角形，则斜边为由三角形任意两边之和大于第三边得，+＞所以除x1=a，x2=b外，原方程再无实数解经检验知，x1=a，x2=b是原方程的解说明：观察法解方程的缺点是有时会减根，因此在用观察法初步得出方程的解之后，还要全面考虑，找到方程的全部解。例3、解方程＋=x解：显然

4、x≥1.方程两边乘以2后，移项配方，有0=2x―2―2=＋=（-1）2+（-）2由非负数的性质，得，平方得，x2-x-1=0，取不小于1的根，得x=经检验知，x=是原方程的解.例4、解方程+2+3=（x+y+z）解：配方得，（-1）2+（-2）2+（-3）2=05由非负数的性质得，，得经检验知，是原方程的解.例5、解方程+=+解：平方得，•=∴、是二次方程t2-(+)t+=0的两个根，∴或∴x=0或x=3经检验知，它们是原方程的解例6、求方程的整数解2+=①解：由2≤，得0≤x≤8②又由①有=-2，平方后移项，得8=16+2x-y∵16+2x

5、-y为整数，∴为整数，设x=2b2（b为整数），代入②得，0≤2b2≤8，∴b2只能取0，1，4当b2=0时，x1=0,代入①，得y1=16当b2=1时，x2=2,代入①，得y2=4当b2=4时，x3=8,代入①，得y3=0经检验知，它们是原方程的解例7、已知实数x1，x2，•••xn满足==•••=，x1+x2+•••xn+++•••+=求x1解：∵==•••=，∴==•••=∴x1+=x2+=•••=xn+又∵x1+x2+•••xn+++•••+=∴n(x1+)=∴nx12-x1+n=0∵x1为实数，∴△=（-）2-4n2≥0，解得n≤，

6、又∵n≥1∴取n=1∴x1+=解得x1=3或5经检验知，它们是原方程的解例8、已知实数a，b，c，d互不相等，且a+=b+=c+=d+=x，试求x的值解：∵=x-a，b=x-∴(x-a)(x-)=1同理得(x-c)(x-)=1∴(x-a)(x-)=(x-c)(x-)整理得，x+acx=a+c①又∵(x-a)(x-)=1∴x2--ax+=1②把①代入②得，cx2=2c∵c≠0,∴x2=2，x=±例9、已知关于x的方程（a2-1）()2-(2a+7)()+1=0有实数根（1）求a的取值范围（2）若原方程的两个实数根为x1,x2,且+=，求a的值解

7、：（1）若x≠1，则原方程可转化为（a2-1）x2-(2a+7)x(x-1)+(x-1)2=0整理得，（a2-2a-7）x2+(2a+5)x+1=0①若a2-2a-7=0，即a=1±2时，有x=-显然2a+5=7±4≠0，同时x≠1，∴当a=1±2时，原方程有实数解②若a2-2a-7≠0，当△=（2a+5）2-4(a2-2a-7）≥0，即a≥-且a≠1±2时，原方程有实数解由①、②知，当a≥-时，原方程有实数解（2）由题设知，，是方程（a2-1）t2-(2a+7)t+1=0的两个根，由韦达定理，得=∴3a2-22a-80=0解得a1=10a2

8、=-又由（1）知a≥-，而-＜-∴a2=-应舍去，只取a=10巩固练习：1、方程-=的实数根的个数为个答：12、如果a+b-2-4=3-c-5，则a+b+c的值为答