线性规划模型案例

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1、线性规划模型案例目录例1：生产计划问题1例2：多阶段投资问题4例3：扩建投资问题6例4：混料问题8例5：下料问题9例6：场地租借问题11例7：分配问题13例8：选址问题14例1：生产计划问题某工厂明年根据合同，每个季度末向销售公司提供产品，有关信息如下表。若当季生产的产品过多，季末有积余，则一个季度每积压一吨产品需支付存贮费O.2万元。现该厂考虑明年的最佳生产方案，使该厂在完成合同的情况下，全年的生产费用最低。试建立模型。季度j生产能力aj(吨)生产成本dj(万元／吨)需求量bj(吨)13015．O2024014.O2032015．33041014．810解：现在我

2、们对本问题定义三种不同形式的决策变量，从而从不同的途径来构建模型。(1)设工厂第j季度生产产品xj吨。首先，考虑约束条件：第一季度末工厂需交货20吨；故应有x1≥1520；第一季度末交货后积余(x1-20)吨；第二季度末工厂需交货20吨，故应有x1-20+x2≥20；类似地，应有x1+x2-40+x3≥30；第四季度末供货后工厂不能积压产品，故应有x1+x2+x3-70+x4=10；又考虑到工厂每个季度的生产能力，故应有0≤xj≤aj。其次，考虑目标函数：第一季度工厂的生产费用为15.0x1，第二季度工厂的费用包括生产费用14x2及积压产品的存贮费0.2(x1-20

3、)；类似地，第三季度费用为15.3x3+0.2(x1+x2-40)，第四季度费用为14.8x4+0.2(x1+x2+x3-70)。工厂一年的费用即为这四个季度费用之和。整理后，得下列线性规划模型：minf=15.6x1+14.4x2+15.5x3+14.8x4-26s.t．x1+x2≥40x1+x2+x3≥70x1+x2+x3+x4=8020≤x1≤30，0≤x2≤40，0≤x3≤20，0≤x4≤10。(2)设第j季度工厂生产的产品为xj吨，第j季度初存贮的产品为yj吨(显然，y1＝0)。因为每季度初的存贮量为上季度存贮量、生产量之和与上季度的需求量之差，又考虑到第

4、四季度末存贮量为零，故有；x1—20=y2，y2+x2—20=y3，y3+x3—30＝y4，y4+x4=10；同时，每季度的生产量不能超过生产能力：xj≤aj；而工厂四个季度的总费用由每季的生产费用与存贮费用组成，于是得线性规划：minf=15.Oxl+O.2y2+14x2+O.2y3+15.3x3+O.2y4+14.8x4,s．t．x1-y2=20，y2+x2-y3＝20，y3+x3-y4=30，15y4+x4=100≤x1≤300≤x2≤400≤x3≤200≤x4≤100≤yjj=2,3,4(3)设第i季度生产而用于第j季度末交货的产品数量为xij吨。根据合同要

5、求，必须有：xll=20，x12+x22=20，x13+x23+x33=30，x14+x24+x34+x44=10。又每季度生产而用于当季和以后各季交货的产品数不可能超过该季度工厂的生产能力，故应有。xll+x12+x13+x14≤30，x22+x23+x24≤40，x33+x34≤20，x44≤10。第i季度生产的用于第j季度交货的每吨产品的费用cij=dj+0.2(j-i)，于是，有线性规划模型。minf=15.Oxll+15.2x12+15.4xl3+15.6xl4+14x22+14.2x23+14.4x24+15.3x33+15.5x34+14.8x44s．

6、t．xll=20，x12+x22=20，x13+x23+x13=30，x14+x24+x34+x44=10，x1l+x12+x13+x14≤30，x22+x23+x24≤40，x33+x34≤20，x44≤10，‘xij≥0，i=1，…，4;j=1，…，4，j≥i。15例2：多阶段投资问题某公司现有资金30万元可用于投资，5年内有下列方案可供采纳：1号方案：在年初投资1元，2年后可收回1.3元；2号方案；在年初投资1元，3年后可收回1.45元；3号方案：仅在第1年年初有一次投资机会。每投资1元，4年后可收回1.65元；4号方案：仅在第2年年初有一次投资机会。每投资1

7、元，4年后可收回1.7元；5号方案。在年初存入银行1元，下一年初可得1.1元。每年年初投资所得收益及银行利息也可用作安排。问该公司在5年内怎样使用资金，才能在第6年年初拥有最多资金?解:设xij为i号方案在第j年年初所使用的资金数。显然，对于3号及4号方案，仅有x31和x42。此外，不考虑x15，x24，x25，因为其相应投资方案回收期超过我们所讨论的期限。我们将各年的决策变量(表中虚线起点)及其相应效益(表中虚线终点)列表。年份j（年初）123456x11x21x31x511.1x51x12x22x42x521.3x111.1x52x13x23x531.45x