13第十三讲 相似

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1、第十三讲相似一、课标下复习指南1．成比例线段用同一长度单位度量两条线段所得量数的比叫做这两条线段的比．如果线段a和b的比等于线段c和d的比，那么线段a，b，c，d叫做成比例线段，记作或a∶b＝c∶d，其中a，c叫做比的前项，b，d叫做比的后项，b，c叫做比例内项，a，d叫做比例外项，d叫做a，b，c的第四比例项．若，则称b是a，c的比例中项．线段的黄金分割点与黄金分割比．2．比例的性质成比例的数具有下面的性质：(1)基本性质：(2)反比性质：*(3)更比性质：或*(4)合比性质：*(5)等比性质：(其中k为正整数，且b1＋b2＋b3＋…＋

2、bk≠0)3．相似多边形对应角相等、对应边成比例的多边形，叫做相似多边形．相似多边形对应边的比叫做相似比．4．三角形相似的判定(除相似三角形的定义外)(1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．(2)判定定理1如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．即“两角对应相等，两三角形相似”．(3)判定定理2如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．即“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”．(4)判定定理3如果一

3、个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．即“三边对应成比例，两三角形相似”．(5)若△1∽△2、△2∽△3、则△1∽△3．对于直角三角形相似，还有如下判定定理：(6)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(7)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似．5．相似三角形的性质(1)相似三角形的对应角相等；13(2)相似三角形的对应边成比例；(3)相似三角形的对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比；(4)相似三

4、角形周长比等于相似比；(5)相似三角形面积的比等于相似比的平方．6．相似多边形的性质(1)相似多边形的对应角相等；(2)相似多边形对应边的比等于相似比；(3)相似多边形周长的比等于相似比；(4)相似多边形面积的比等于相似比的平方．7．直角三角形中的成比例线段如图13－1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于D，则(1)△ADC∽△ACB∽△CDB(可拆成三对相似三角形)；图13－1(2)CD2＝AD·DB；(注：用时要证明)(3)AC2＝AD·AB，BC2＝BD·BA；(注：用时要证明)(4)CD·AB＝AC·BC．(注：用时要证

5、明)8．位似(1)如果两个多边形相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这两个多边形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．(2)如果两图形F与F′是位似图形，它们的位似中心是点O，相似比为k，那么①设A与A′是一对对应点，则直线AA′过位似中心O点，并且②设A与A′，B与B′是任意两对对应点，则若直线AB，A′B′不通过位似中心O，则AB∥A′B′．(3)利用位似，可以将一个图形放大或缩小．(4)在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k那么位似图形对应点的坐标的比等于k或－k．9．相似图形的应用二、例题分析例1已知：如图

6、13－2，点P是边长为4的正方形ABCD内一点，PB＝3，BF⊥BP于点B，试在射线BF上找一点M，使得以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，作图并指出相似比k的值．13图13－2分析由已知，∠ABP＝∠CBF．欲使以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，只要使夹∠ABP及∠CBF的两边对应成比例．解如图13－3．图13－3∵AB⊥BC，PB⊥BF，∴∠ABP＝∠CBF．当，即，BM1＝3时，△CBM1∽△ABP．相似比k＝1．当即时，△CBM2∽△PBA．相似比∴当BM＝3或时，以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，相似

7、比分别为1和说明(1)对于探究三角形相似的条件这类问题，可从“角的关系在先、边的关系在后”的思维顺序入手，由于题目条件中只有一组对应角相等，因此就考虑这组对应角的四条线段何时对应成比例，由于点C可以与点A对应(此时点M与点P对应)，点C也可以与点P对应(此时点M与点A对应)，因此有两种情形．(2)注意当相似比k＝1时，两个相似图形全等，因此，全等图形是相似图形的特例．例2已知：如图13－4，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC，CD于点P，Q图13－4(1)请写出图中各对相似三角形(相似比为1的除

8、外)；(2)求BP∶PQ∶QR的值．解(1)△BCP∽△BER，△PCQ∽△RDQ，△PCQ∽△PAB，△PAB∽△RDQ．(2)∵四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，∴BC＝AD＝