中考数学综合题系列复习讲座—方程知识综合题

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1、中考数学综合题系列复习讲座—方程知识综合题  　　初中数学中学了一次方程(组)、一元二次方程以及简单的分式方程、根式方程、二元二次方程。中考中的方程知识综合题，多以一元二次方程为热点，且以判别式、韦达定理的灵活运用为主要考点。这类题，以考查灵活的代数(整式、分式、根式)变换和转化能力为基础的。此外，在2000年的中考卷中，还有一些设计独特的方程知识探索题颇具新意。　　一、典型试题选析(本文所有选题均为2000年中考题)　　例1：(湖北省鄂州市)　　已知关于x的方程kx2+(2k-1)x-2=0。　　(1)若方程有实根，求k的取值范围。　　(2)若此方程两实根

2、为x1、x2且x+x=3，求k的值。　　解：(1)依题意得：Δ≥0，∴(2k-1)2-4k(k-2)≥0，解得k≥-，　　∴k的取值范围是k≥-。　　(2)依题意得：x+x=(x1+x2)2-2x1x2=3，即：(-)2-2·=3，　　化简得k2 =1，∴k=±1。　　上面解答有无错误？若有指出错误之处，并直接写出正确答案。　　解：上面两题均有错误。正确解答是：　　(1)分k=0，k≠0两种情况：　　当k=0，方程为一元一次方程-x-2=0，方程有实数解x=-2；　　当k≠0，方程为一元二次方程，依题意得Δ≥0，∵(2k-1)2-4k(k-2)≥0，解得k≥

3、-≥0，此时k的取值范围是k≥-且k≠0。　　综合上述两种情况，k的取值范围是k≥-。　　(2)解题过程略。解得k=±1之后，同时考虑有实根的条件k≥-，应排除k=-1，∴k=1。　　说明：本题已知方程未说明是一元二次方程，因此首先要分k=0，k≠0两种情况讨论，这点，容易忽视；其次，韦达定理应用的前提是有实根，即Δ≥0，这点，也容易被疏漏，本题既考查方程、韦达定理、判别式的基本概念，也考查学生周密思考能力。　　例2：(山东淄博市)　　(1)如表，方程1，方程2，方程3，……，是按照一定规律排列的一列方程。解方程1，并将它的解填在表中的空白处；　　(2)若方

4、程-=1(a＞b)的解是x1=6，x2=10，求a、b的值。该方程是不是(1)中所给出的一列方程中的一个方程？如果是，它是第几个方程？　　(3)请写出这列方程中的第n个方程和它的解，并验证所写出的解适合第n个的方程。序号方程方程的解1=1x1=______x2=______2=1x1=4x2=63=1x1=5x2=8…………　　解：(1)x1=3，x2=4；　　(2)将x1=6，x2=10代入=1，可得方程组，　　化简可得。　　∵a＞b，又可得a=6+2，b=6-2，∴原方程应是=1。这显然不是表列的系列方程中的一个，因为表中规律可推知第4个方程是：=1，其

5、解也是x1=6，x2=10。　　(3)由表中规律可以猜测第n个方程是：　　=1(n是自然数)(*)　　方程的解为：x1=n+2，x2=2(n+1)。　　验证：解方程(*)，去分母并整理可得：　　x2-[(n+2)+2(n+1)]x+2(n+1)(n+2)=0，∴x1=n+2，x2=2(n+1)。　　说明：本题综合了方程的许多知识：解分式方程；列分式方程组并解答；解一元二次方程等。除此之外，本题提出了较高的综合素质的要求：要会观察，找出系列方程中的规律；个例验证，正确验证第(2)题；探索一般规律，完成第(3)题。本题设计突破了传统模式。　　例3：(江苏南通市)

6、　　设x1、x2是关于x的方程x2-(k+2)x+2k+1=0的两个实数根，且x+x=11。　　(1)求k的值；　　(2)利用根与系数的关系求一个一元二次方程，使它的一个根是原方程两个根的和，另一根是原方程两根差的平方。　　解：(1)由韦达定理知：x1+x2=k+2，x1x2=2k+1。　　∵x+x=(x1+x2)2-2x1x2=(k+2)2-2(2k+1)=k2+2=11，∴k=±3。　　k=3时，原方程为x2-5x+7=0，此时Δ＜0，无实根，不合题意，舍去。故k=-3。　　(2)∵k=-3，故方程为x2+x-5=0，设此方程两根为x1、x2，则可得x1

7、+x2=-1，x1x2=-5。　　而(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=(-1)2-4×(-5)=21。　　∵所求新方程的两根分别为x1+x2=-1和(x1-x2)2=21，故新方程是x2-(-1+21)x+(-1)·21=0，即x2-20x-21=0。　　说明：已知一元二次方程根的对称式求待定系数时，不仅要逆用韦达定理，更要注意判别式的检验；求作新的一元二次方程x2+px+q=0时，关键在于确定两个数值p=-(x1+x2)，q=x1x2，其x1，x2是新方程的两根。　　例4：(山东聊城市)　　已知关于x的方程x2+2x+=0，其中m为实数。　　

8、(1)当m为何值时，方程没有实数根？　　(2)当m为