自由度概念深析

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1、关于“自由度”的几个问题探析李文华内容提要：本文探讨了如下几个相关的问题：什么是“自由度”?怎样计算“自由度”？“自由度”对于统计学有什么作用？关键词：自由度抽样分布假设检验Abstract:Threeissuesthatarecorrelativehavebeendiscussedinthisarticle.Theseissuesare:Whatisdegreeoffreedom?Howtocalculatedegreeoffreedom?Whatisthesignificanceofdegreeoffreedomtostatistics?Keywords:D

2、egreeoffreedom;Sampledistribution;Hypothesistest在统计学中，有一个很难理解的概念——“自由度”（degreeoffreedom）o这里，笔者就如下儿个相关的问题发表一些不成熟的意见，请教方家。一、什么是“自由度”？“自由度”是指当以样本的统计量来估计总体的参数吋，样本中独立或能自曲变化的数据的个数。这个定义町以从如下2个方面來理解：第一，“统计量”（如样本数据的平均数尢、样本数据的标准差、口和宀左通过调查样本的数据人为地计算出來的，而“参数”（如总体均值“、）差5）是被调查的总体所客观存在的，这是两者的区别。⑴在统

3、计学的理论层而上，耍求或者假定统计量是参数的无偏估计，认为二者是相等的（在实际研究中，由丁抽样的偏差，可能导致两者不相等，但对于这种情况，研究者是无法知道的，知道就没有抽样调查的必要了）。在理论假设下，统计量也就和参数一样被看作是客观的、确定的。第二，既然在理论上统计量被要求是确定的，那么在实际层面上，计算统计量的那组数据就不是完全自曲的。这一点很重要，因为“自出度”中“自由”的含义就是相对这个“确定”条件而言的。正是统计量的这种“确定性”限制了与z相关的一组数据的“自由度”，也就是说，一组数据不是可以完全自由取值的，它必须支持“统计量与总体参数相等”的理论假设

4、。这就是“自由度”存在的理由。有必要举例来进一步说明“独立或能口由变化的数据”的含义。在心理、社会等领域的测量或者调杳过程中，研究者设置了一些变量（如智商、收入等），这些变量是随机变量。所谓随机变量是指，在调查总体屮，变量的取值范围及其所对应的频次（两者合起來称为变量的分布）是确定的，但在一次具体的抽样调查中，变量的取值及其所对应的频次则是不确定的，但在大样本的抽样调查中，变量的分布又是能体现总体的特征和规律的。例仁研究者调查某个城市在岗职女工的平均收入，从总体40000万人屮，研究者随机抽取了200人进行调查。在这个例子屮，总体40000个在岗女工的收入的平均

5、数是总体参数，是客观的、确定的，尽管研究者不知道。通过随机抽样和问卷调查，研究者获得了200人的收入的数据。运用这组数据可以算出样木的平均数，它是统计量。由于在理论上要求统计量与参数相等，所以这200个数据屮只冇199个数据可以“自由”变动，所以，这组数据在求平均数这个统计量时的自由度就是：K=200-1=199o笫三，在上面的例子中，研究者只抽了一个200人的样本，而在实际层面,这200人的收入是确定的，因为每个被调查者只有一个确定的收入。既然这样,“199个数据可以自由变动”是什么意思呢？这需要回到理论上去回答。在理论上，从20000人中随机抽取200人冇C

6、囂0。种抽取方法，也就是说，在理论上研究者可以得到c芻oo个不同的、样本容量均为200人的样本，这个数据量是很大的（没有必要确切知道它的值）。这样,在理论上就存在很多组调查数据（虽然研究者确实只调查了一个200人的样木，也只获得了一组整据），每组都有200个数据。每组数据在理论上都冇对应的统计量（如平均数疋），正是这些统计量的分布，构成了统计学屮所说的抽样分布,它是基础统计学的核心内容。所以，仅仅在理论上，这200个数据屮的199个数据是可以随不同样本而变化的、自由的。当然，话说冋来，这种自由并非是绝对的，它们也只能在总体的取值范围内变动，例如，关于“收入”这个

7、变量的取值就不可能为负值。第四，“自由度”是谁的？从前面的分析中可以知道，“自由度”产生于这样的背景下：运用一组数据來求“统计量”。离开“一组数据”就不可能冇“统计量”，不计算“统计量”，“一组数据”就失去了科学的价值。所以，“自由度”应该是“统计量”和“一组数据”所共同拥有的。当然，为了方便，我们说“统计量的自由度”或者“一组数据的自由度”也都是可以接受的。二、如何计算“自由度”？自由度的大小与计算统计量时的确定条件的数目成反比，计算某个统计量的口由度，原则上是用数据的个数减去“确定”条件的个数。但说起来容易算起来难。常见的统计量有平均数〒、样本标准差s、M直

8、、X2（卡方）值、F值等