2020版高考数学大一轮复习第八章立体几何6第6讲平行、垂直的综合问题新题培优练文（含解析）新人教A版

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1、第6讲平行、垂直的综合问题[基础题组练]1．如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥ABCD，则在三棱锥ABCD中，下列结论正确的是(　　)A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC解析：选D.因为在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，所以BD⊥CD.又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，故CD⊥平面ABD，则CD⊥AB.又AD

2、⊥AB，AD∩CD＝D，AD⊂平面ADC，CD⊂平面ADC，故AB⊥平面ADC.又AB⊂平面ABC，所以平面ADC⊥平面ABC.2．如图，四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A′BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，则下列结论正确的是(　　)A．A′C⊥BDB．∠BA′C＝90°C．CA′与平面A′BD所成的角为30°D．四面体A′BCD的体积为解析：选B.若A成立可得BD⊥A′D，产生矛盾，故A不正确；由题设知：△BA′D为等腰Rt△，CD⊥平面A′BD，得BA′⊥平面A′CD，则BA′⊥A′

3、C，于是B正确；由CA′与平面A′BD所成的角为∠CA′D＝45°知C不正确；VA′BCD＝VCA′BD＝，D不正确．故选B.3．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上(异于点P，C)，平面ABE与棱PD交于点F.-7-(1)求证：AB∥EF；(2)若平面PAD⊥平面ABCD，求证：AF⊥EF.证明：(1)因为四边形ABCD是矩形，所以AB∥CD.又因为AB⊄平面PDC，CD⊂平面PDC，所以AB∥平面PDC.又因为AB⊂平面ABEF，平面ABEF∩平面PDC＝EF，所以AB∥EF.(2)因为四边形ABCD是矩形，所以AB⊥AD.

4、又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥平面PAD.又因为AF⊂平面PAD，所以AB⊥AF.由(1)知AB∥EF，所以AF⊥EF.4.(2019·郑州市第二次质量预测)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝，△PAD是等边三角形，F为AD的中点，PD⊥BF.(1)求证：AD⊥PB.(2)若E在线段BC上，且EC＝BC，能否在棱PC上找到一点G，使平面DEG⊥平面ABCD？若存在，求出三棱锥DCEG的体积；若不存在，请说明理由．解：(1)连接PF，因为△PAD是等边三角形，所

5、以PF⊥AD.因为底面ABCD是菱形，∠BAD＝，所以BF⊥AD.又PF∩BF＝F，所以AD⊥平面BFP，又PB⊂平面BFP，所以AD⊥PB.(2)能在棱PC上找到一点G，使平面DEG⊥平面ABCD.由(1)知AD⊥BF，因为PD⊥BF，AD∩PD＝D，所以BF⊥平面PAD.又BF⊂平面ABCD，所以平面ABCD⊥平面PAD，又平面ABCD∩平面PAD＝AD，且PF⊥AD，所以PF⊥平面ABCD.连接CF交DE于点H，过H作HG∥PF交PC于G，所以GH⊥平面ABCD.又GH⊂平面DEG，所以平面DEG⊥平面ABCD.因为AD∥BC，所以△DFH∽△EC

6、H，所以＝＝，所以＝＝，所以GH＝PF＝，所以VDCEG＝VGCDE＝S△CDE·GH＝×DC·CE·sin·GH＝.-7-5．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝60°，E是BC的中点．(1)证明：AE⊥平面PAD；(2)取AB＝2，若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成的最大角的正切值为，求PA的长度．解：(1)证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，可得△ABC为正三角形．因为E为BC的中点，所以AE⊥BC.又因为BC∥AD，所以AE⊥AD.因为PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，所以PA⊥A

7、E.而PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，PA∩AD＝A，所以AE⊥平面PAD.(2)连接AH.由(1)知AE⊥平面PAD，则∠EHA为EH与平面PAD所成的角．在Rt△EAH中，AE＝，tan∠EHA＝＝，所以当AH最短，即AH⊥PD时，∠EHA最大，此时tan∠EHA＝＝＝，因此AH＝.又因为AD＝2，所以∠ADH＝45°，所以PA＝AD＝2.[综合题组练]1．(2019·武汉市部分学校调研)如图(1)，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E是CD的中点，将△ADE沿AE折起，得到如图(2)所示的四棱锥D1ABCE，其中平面D1AE⊥平面ABCE.

8、(1)证明：BE⊥平面D1AE；(2)设F为CD1的中点，在线段AB上是否存在一