高等数学上册总复习

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1、高等数学(上)知识点高等数学上册知识点一、函数与极限(一)函数1、函数定义及性质(有界性、单调性、奇偶性、周期性);2、反函数、复合函数、函数的运算;3、初等函数:幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数;4、函数的连续性与间断点;函数在连续第一类:左右极限均存在.间断点可去间断点、跳跃间断点第二类:左右极限、至少有一个不存在.无穷间断点、振荡间断点5、闭区间上连续函数的性质:有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论.(二)极限1、定义1)数列极限2)函数极限第12页共12页高等数

2、学(上)知识点左极限:右极限:1、极限存在准则1)夹逼准则:1)2)2)单调有界准则:单调有界数列必有极限.2、无穷小(大)量1)定义:若则称为无穷小量;若则称为无穷大量.2)无穷小的阶:高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、阶无穷小Th1;Th2(无穷小代换)3、求极限的方法1)单调有界准则;2)夹逼准则;3)极限运算准则及函数连续性;4)两个重要极限:a)b)5)无穷小代换:()a)第12页共12页高等数学(上)知识点a)b)()c)()d)一、导数与微分(一)导数1、定义:左导数:右导数:函数在点可导2、几何意义:为曲

3、线在点处的切线的斜率.3、可导与连续的关系:4、求导的方法1)导数定义;2)基本公式;3)四则运算;4)复合函数求导(链式法则);5)隐函数求导数;6)参数方程求导;第12页共12页高等数学(上)知识点1)对数求导法.1、高阶导数1)定义:2)Leibniz公式:(一)微分1)定义:,其中与无关.2)可微与可导的关系:可微可导,且一、微分中值定理与导数的应用(一)中值定理1、Rolle定理:若函数满足:1);2);3);则.2、Lagrange中值定理:若函数满足:1);2);则.3、Cauchy中值定理:若函数满足:1)

4、;2);3)则第12页共12页高等数学(上)知识点(一)洛必达法则(二)Taylor公式(三)单调性及极值1、单调性判别法:,,则若,则单调增加;则若,则单调减少.2、极值及其判定定理:a)必要条件:在可导,若为的极值点,则.b)第一充分条件:在的邻域内可导,且,则①若当时,,当时,,则为极大值点;②若当时,,当时,,则为极小值点;③若在的两侧不变号,则不是极值点.c)第二充分条件:在处二阶可导,且,,则①若,则为极大值点;②若,则为极小值点.3、凹凸性及其判断,拐点1)在区间I上连续,若,则称在区间I上的图形是凹的;若,

5、则称在区间I上的图形是凸的.2)判定定理:在上连续,在上有一阶、二阶导数,则a)若,则在上的图形是凹的;b)若,则在上的图形是凸的.第12页共12页高等数学(上)知识点3)拐点:设在区间I上连续,是的内点,如果曲线经过点时,曲线的凹凸性改变了,则称点为曲线的拐点.(一)不等式证明1、利用微分中值定理;2、利用函数单调性;3、利用极值(最值).(二)方程根的讨论1、连续函数的介值定理;2、Rolle定理;3、函数的单调性;4、极值、最值;5、凹凸性.(三)渐近线1、铅直渐近线:,则为一条铅直渐近线;2、水平渐近线:,则为一条

6、水平渐近线;3、斜渐近线:存在,则为一条斜渐近线.(四)图形描绘一、不定积分(一)概念和性质1、原函数:在区间I上,若函数可导,且,则称为第12页共12页高等数学(上)知识点的一个原函数.1、不定积分:在区间I上,函数的带有任意常数的原函数称为在区间I上的不定积分.2、基本积分表(P188,13个公式);3、性质(线性性).(一)换元积分法1、第一类换元法(凑微分):2、第二类换元法(变量代换):(二)分部积分法:(三)有理函数积分1、“拆”;2、变量代换(三角代换、倒代换、根式代换等).一、定积分(一)概念与性质:1、定

7、义:2、性质:(7条)性质7(积分中值定理)函数在区间上连续,则,使第12页共12页高等数学(上)知识点(平均值:)(一)微积分基本公式(N—L公式)1、变上限积分:设,则推广:2、N—L公式:若为的一个原函数,则(二)换元法和分部积分1、换元法:2、分部积分法:(三)反常积分1、无穷积分:2、瑕积分:(a为瑕点)(b为瑕点)第12页共12页高等数学(上)知识点两个重要的反常积分:1)2)一、定积分的应用(一)平面图形的面积1、直角坐标:2、极坐标:第12页共12页高等数学(上)知识点(一)体积1、旋转体体积:a)曲边梯形

8、轴,绕轴旋转而成的旋转体的体积:b)曲边梯形轴,绕轴旋转而成的旋转体的体积:(柱壳法)2、平行截面面积已知的立体:(二)弧长1、直角坐标:2、参数方程:3、极坐标:一、微分方程(一)概念第12页共12页高等数学(上)知识点1、微分方程:表示未知函数、未知函数的导数及自变量之间关系的方程.阶:微分方程中所

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