初中数学活动课程讲座

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1、初中数学活动课程讲座梯形天堂初中数学组（一）知识概要1.梯形的概念及判定方法（1）梯形的定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形.①等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形；②直角梯形：一腰垂直于底边的梯形叫做直角梯形.（2）梯形的判定方法：①定义判定；②对角线相等的梯形是等腰梯形；③在同一底上的两个底角相等的梯形是等腰梯形.2.梯形问题的转化解决梯形问题通常要转化为三角形，经常用到的转化方法如下图所示：（二）典例解析例1.（2008成都中考题）在梯形ABCD中，AD//BC,AB=DC,E、F分别是AB和BC上的点.（1）如图1，以EF为对称轴折叠梯形ABCD，使点B与点D重合，且若

2、AD=4,BC=8,求梯形ABCD的面积的值；E（2）如图2，连结EF并延长与DC的延长线交于点G,如果FG=k·EF（k为正数），试猜想BE与CG有何数量关系？写出你的结论并证明之.GFEDCBAFDCBA图1图2分析：对于（1）由题设不难发现所以，DF=BF=6,根据梯形面积计算公式即可求解；对于（2），可以考虑过点E作DC的平行线，利用相似三角形的知识求解.解答从略.例2.(“希望杯”赛题）如图3，四边形ABCD中，AB//CD,若AD=a,AB=b,则CD的长是.DCBA图3分析：平移腰，构造等腰三角形、平行四边形.解：过点D作DE//BC交AB于点E,则DCBE是平行四边形，有.E因

3、此，AE=AD=a,BE=AB-AE=b-a.所以，CD=BE=b-a.例3.（全国初中数学联赛试题）已知一个梯形的4条边长分别为1，2，3，4.则此梯形的面积等于（）分析：给定4条线段，要构成梯形需要满足一定的条件（符合三角形任两边之和大于第三边），关键是确定可能的上下底.经综合分析与分类讨论，只可能是梯形的上下底分别为1、4，两腰分别为2、3.否则，就会与“三角形任意两边之和大于第三边”矛盾.答案：D.QPDCBA图4例4.（2005湖南湘西中考试题）如图4，已知梯形ABCD中，AD//BC,AB=CD=3cm,（1）求BC、AD的长度；（2）若点P从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速

4、度运动，点Q从点C开始沿CD边向点D以1cm/s的速度运动，当P、Q分别从B、C同时出发时，写出五边形ABPQD的面积S与运动时间t之间的关系式，并写出t的取值范围（不包含点P在B、C两点的情况）；（3）在（2）的前提下，是否存在某一时刻t,使线段PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1:5?若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.解：（1）在中，因为CD=3cm,所以，BC=2CD=2×3=6(cm).又四边形ABCD是等腰梯形，则且故AD=AB=3cm.（2）当点P出发t秒后，BP=2tcm,PC=(6-2t)cm,CQ=tcm.易知中PC边上的高为cm.所以，显然，梯形的高为于是，由得

5、即（3）略（要分两种情况求解一元二次方程）.由（2）知：（0

6、.过点A作AE//BC交DC于点E.QNMPEDCBA图5由条件易知是斜边AD上的中线，因此，MP//AB//CD.点P在梯形ABCD的中位线MN上（过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行）同理，点Q在MN上.于是，点M、P、Q、N四点共线.显然，AECB是平行四边形，则AE=BC=5,DE=DC-AB=8.在中，由海伦公式得设AB、DC之间的距离为d,则①同理，.②又故=注：海伦公式是已知三角形三边的长分别为a、b、c时，用于计算该三角形面积的公式，其中，被称为三角形的半周长.请同学们记忆这一公式.至于公式的证明，今后不难得证.(三）课后练习《培优竞赛新方法》P97例3～例5，P98～P

7、101第1～22题.补充题：1.（2009年武汉市中考题）在直角梯形中，，为边上一点，，且．连接交对角线于，连接．下列结论：①；②为等边三角形；DCBEAH③；④．其中结论正确的是（）A．只有①②B．只有①②④C．只有③④D．①②③④关于梯形的中位线定义：连结梯形两腰中点的线段，叫做梯形的中位线。猜想：梯形的中位线与两底有怎样的位置关系？它与两底之间又有着怎样的数量关系呢？NMFECDBA梯形中位