二次函数中相似三角形存在性资料

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1、相似三角形的存在性（作业）例：在平面直角坐标系中，二次函数图象的顶点坐标为C(4，)，且与x轴的两个交点间的距离为6．（1）求二次函数的解析式；（2）在x轴上方的抛物线上，是否存在点Q，使得以Q，A，B为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．第一问：研究背景图形【思路分析】①由顶点坐标C(4，)可知对称轴为直线_______，利用两个交点间的距离为6，再结合抛物线的对称性可知A(___，___)，B(___，___)．②设交点式_________________

2、_，再代入坐标__________可求解出解析式__________________．分析不变特征，确定分类标准．定点：_____________；动点：_____________；目标三角形：特征：【过程示范】∵顶点坐标为C(4，)，∴抛物线对称轴为直线x=4，又∵抛物线与x轴的两个交点间的距离为6，∴由抛物线的对称性可知：A(1，0)，B(7，0)．设抛物线的解析式为，5将C(4，)代入可得，，∴所求解析式为．第二问：整合信息、分析特征、设计方案【思路分析】相似三角形存在性问题也是在存在性问题的框架

3、下进行的：①分析特征：先研究定点、动点，其中_________为定点，点__为____________________的动点；则________为目标三角形．进一步研究此三角形，发现其中________________；构造辅助线：____________________________，能够计算出∠BAC=_____°，∠ACB=________°；再考虑研究△QAB，固定线段为______，并且由于点Q在x轴上方的抛物线上，所以△QAB为______（填“钝角”或“直角”）三角形．②画图求解：先考虑

4、点Q在抛物线对称轴右侧的情况，此时∠ABQ为钝角，要想使△ABC与△ABQ相似，则需要∠ABQ=_____°，且_________．求解时，可根据∠ABQ=_____°，AB=BQ=_____来求出Q点坐标．同理，考虑点Q在抛物线对称轴左侧时的情况．③结果验证：考虑点Q还要在抛物线上，将点Q代入抛物线解析式验证．【过程示范】存在点Q使得△QAB与△ABC相似．由抛物线对称性可知，AC=BC，过点C作CD⊥x轴于D，则AD=3，CD=．在Rt△ACD中，tan∠DAC=，∴∠BAC=∠ABC=30°，∠A

5、CB=120°．①当△ACB∽△ABQ时，∠ABQ=120°且BQ=AB=6．过点Q作QE⊥x轴，垂足为E，则在Rt△BQE中，BQ=6，∠QBE=60°，∴QE=BQ·sin60°=，BE=3，∴E(10，0)，Q1(10，)．当x=10时，y=，∴点Q1在抛物线上．5②由抛物线的对称性可知，还存在AQ2=AB，此时△Q2AB∽△ACB，点Q2的坐标为(-2，)．综上：Q1(10，)，Q2(-2，)．1.如图，已知抛物线y=x2-1与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，过点A作AP∥CB交抛物线于点P

6、．（1）求A，B，C三点的坐标．（2）在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过点M作MG⊥x轴于点G，使以A，M，G为顶点的三角形与△PCA相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．51.如图，抛物线y=ax2+b与x轴交于点A，B，且点A的坐标为(1，0)，与y轴交于点C(0，1)．（1）求抛物线的解析式，并求出点B的坐标．（2）过点B作BD∥CA交抛物线于点D，在x轴上点A的左侧是否存在点P，使以P，A，C为顶点的三角形与△ABD相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2.如图

7、，抛物线经过A(4，0)，B(1，0)，C(0，-2)三点．（1）求抛物线的解析式．（2）P是抛物线上一动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．5【参考答案】例题示范：第一问：①x=4，(1，0)，(7，0)②y=a(x-1)(x-7)，C(4，)，第二问：①点A，B，C，点Q，在x轴上方的抛物线上，△ABC，CA=CB，过点C作CD⊥AB于点D，30，120，AB，钝角。分析不变特征，确定

8、分类标准；定点：A，B，C；动点：____Q___；目标三角形：△ABC特征：CA=CB，∠ACB=120°②120，BA=BQ，120，61.（1）A(-1，0)，B(1，0)，C(0，-1)（2）存在，(-2，3)，()，(4，15)2.（1），B(-1，0)（2）存在，3.（1）（2）存在，5