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《裘宗沪教授、朱华伟、冯祖鸣、吴伟朝教授、钱展望讲座》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、3月9日上午裘宗沪老师点评IMO1．(荷兰)如图，.求证：.证法一：设AR=BR=x,BP=y,AQ=z,由正弦定理可得PC=y,CQ=z.在△ABR，△BPC,△ACQ中，应用余弦定理得BC2=（2+)y2,AB2=（2+)x2,AC2=（2+)z2。,,设∠ABC=B，∠ACB=C，∠BAC=A，在△ABC中应用余弦定理得：同理要证PR2=RQ2,需证zsinA=ysinB∵，即∴,zsinA=ysinB∴PR2=RQ2,∴PR=RQ要证PR2+RQ2=PQ2,需证xysinB+xzsinA=2yzsinC∵,∴,将他代入上式
2、可证得。证法二：2.最简单的组合题、最难的组合题以及最漂亮的组合题（1）设S={1，2，3，…，1978}，把S分成6个互不相交的集合，即.求证：在某一中，一个元素是其他两个元素的和，或者是某一元素的2倍.（2）（2001.3.第42届IMO试题）21个男孩和21个女孩参加一次数学竞赛：(i)每一个参赛都至多解出了6道题；(ii)对于每一个女孩和每一个男孩，至少有一道题被这一对孩子都解出.证明：有一道题，至少有3个女孩和至少有3个男孩都解出.略证：G是参加比赛的女生集合，B是参加比赛的男生集合，P为题目集合，P(g)是被解出来的题
3、目集合，P(b)是被解出来的题目集合，G(P)是解出的女生集合，B(p)是解除出p的男生集合。依题意，对任意gG，bB，有：(i)
4、P(g)≤6
5、,
6、P(b)
7、≤6；(ii)P(g)P(b).为了证明存在pP满足
8、G(P)
9、≥3,
10、B(p)
11、≥3，我们假设对任意pP,有
12、G（p）
13、≤2或
14、B(p)
15、≤2.若
16、G(p)
17、≤2，则将p染成红色，否则将其染成黑色，考虑一个21的棋盘，每一行代表一个女生，每一列代表一个男生，对gG，bB,对相应的方格(g,b)进行染色，任选pP(g)P(b)，将p的颜色涂在(g,b)内，由条件(ii)知，
18、这样的涂法是存在的，由抽届原理知至少有一种颜色涂了不少于个方格，存在一行至少有11个黑色格或存在一列至少有11个红格.假设gG所在行至少有11个黑色格，对这11个黑色格中的每一个所代表的题目，最多被2个男生解出，于是至少有道不同的题目被g解出，由条件(i)知g仅解出这6道题，这样最多有12个男生解的题也被g解出，与条件(ii)矛盾.同理，若存在一列至少有11个红格也可推出矛盾，因此，必存在pP，满足
19、G(p)
20、≥3,
21、B(p)
22、≥3.（3）3月9日裘宗沪老师点评IMO下午（阴影部分题为集体研讨题目）1.在锐角三角形ABC中，AP是
23、BC边上的高，O是外心，若.求证：（第42届IMO试题）.分析：2.两圆相交于A、B两点，过A作直线与两圆分别交于C和D，若弧CB和弧DB（这两弧不含A）中点分别是M和N，线段CD中点是K，求证：（2000年伊朗数学奥林匹克）.3.在锐角三角形ABC中，角C的平分线交AB于L，从L作边AC和边BC的垂线，垂足分别为M和N，设AN和BM的交点是P，证明：CPAB(2000年保加利亚数学竞赛，十年级).分析一：连接CP并延长交AB于Q，利用基本结论：；分析二：过C作CQ垂直AB于Q，往证AN、BM、CQ共点，利用塞瓦定理转化结论，然后
24、利用四点共圆的知识得出结论；分析三：利用向量的内积与向量相互垂直的关系；分析四：解析几何的方法；分析五：过C作AB的平行线，利用同一法可得结论.思路1，同一法：作于Q，只要证BM、AN、CQ共点，由塞瓦定理，只要证，由三角形相似，转化为。图2思路2：延长CP交AB于Q，只要证，由得，从而得，转化为证明，即，最后用塞瓦定理证得。思路3：延长CP交AB于D，过C作AB的平行线l，延长LM，LN交l于E、F，得，由同一法证得结论。思路4，向量法：设，，，，计算得。也可以用解析几何证。另外，若CL为外角平分线也有类似的结论。4.圆O1与圆
25、O2内切于圆O，切点分别为M、N，圆O1与圆O的公共弦交圆O于A和B两点，MA和MB交圆O1于C和D，证明：圆O2和直线CD相切(40届IMO).5.圆S1圆S2相交于A、B，一直线过A，与S1交于C，与S2交于D，点M、N、K分别是线段CD、BC、BD上的点，且MN//BD，MK//BC，设在S1的弧BC上（不含点A）有一点E，在S2的弧BD上（不含点A）有一点F，满足，求证:(第43届IMO备选题).答案见《中等数学》2003年第5期P2876.在平行四边形ABCD中，E、F分别是边AD和CD上的点，，EG平行AB与BF相交于
26、G，若AF与BE相交于H，DH与BC相交于BC.求证：（2002年保加利亚国家数学奥林匹克地区赛）.答案见《中等数学》2004年第一期P267.圆S1圆S2相交于P、Q两点，在S1上取不同的两点A1和B1（不是P、Q），直线A1P和B1P交S2分别
