裘宗沪教授、朱华伟、冯祖鸣、吴伟朝教授、钱展望讲座3

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1、3月22日下午冯祖鸣北京大学毕美国一所私立中学教师美国国家队IMO领队email:zfeng@exeter.edu主讲美国数学奥林匹克（含部分伊朗内容）风格：先让学员自己做。然后让学员讲，不会，则他给出提示。1．n－序列：1，2，3，…,n.找出最小的n,存在一个n－序列是个“回尾数”，在19－列中有多少个“回尾数”。“回尾数”是指从头到尾读或从尾到头读是一样的数。如12321。解：（1）2，13，4，15，6，17，8，19，1，10，11，9，18，7，16，5，14，3，12（2）9，18，7，16，5，14，3，12，1，10，11，2，13，4，15，6，17，8

2、，192．设S=，2是以1开头的604位数，求S中以4开头的数的个数。解：以1开头的数有603个，则以2，3开头的数有603个，以4，5，6，7开头的数有603个，以8，9开头的数有2004－（603+603+603）=1809个。所以以4开头的数有1809个。3月22日下午冯祖鸣美国一所私立中学教师美国国家队IMO领队主讲美国数学奥林匹克（含部分伊朗内容）风格：先让学员自己做。然后让学员讲，不会，则他给出提示。3月23日上午吴伟朝中国数学奥林匹克高级教练员数学奥林匹克命题专家IMO中国国家代表队教练MO方向硕士生导师地址：广州大学理学院数学系020－86198971（宅）

3、13600078895Email:wuweichao@hotmail.com主讲函数与函数方程1．求证：任何一个其定义域关于原点对称的函数，都可表示为一个奇函数与一个偶函数之和，并且表示是唯一的。解：y=f(x),x∈D,若x∈D则－x∈D设f(x)=g(x)+h(x),g(x)是奇函数，h(x)是偶函数f(－x)=g(－x)+h(－x)=－g(x)+h(x)两式相加和相减分别得到h(x)=(f(x)+f(－x))g(x)=(f(x)－f(－x))2.设a∈R,若函数y=f(x)与y=10+3关于直线y=x对称，且y=f(x)与y=lg(x－x+a)有公共点，求a的取值范围

4、。解：y=f(x)是y=10+3的反函数，即y=lg(x－3)∵y=f(x)与y=lg(x－x+a)有公共点，∴方程lg(x－x+a)=lg(x－3)有解∵由x－x+a=lg(x－3)得a=－x+2x－3=－(x－1)－2再由x>3得a<-6yzx<0y+xz+x－x3.在正三角形的三个顶点上各放置一个整数，使得三个数的和为正。若某个顶点上的数x<0,则三个顶点上的数x,y,z分别被换为－x,y+x,z+x.只要三个数中还有一个是负数，这种“操作”就进行下去，一直到不出现负数时才停止。问：是否存在有限多次之后，这种“操作”一定会停止。解：构造函数设f(x,y,z)=x+y+

5、z条件:(1)f(x,y,z)≥0;(2)f(x,y,z)为整数;(3)f(x,y,z)严格下降即f(x,y,z)>f(－x,y+x,z+x).f(x,y,z)－f(－x,y+x,z+x)=x+y+z－[(－x)+(y+x)+(z+x)]=－2x(x+y+z)……..以下为函数方程4．求出所有的函数f:R-->R,使得对于所有的a,b∈R,都有f(a·f(b))=ab(*)解法一：特殊到一般取a=1,f(f(b))=b(1)对（*）两边取f,并利用(1)f(ab)=f(f(a·f(b)))=af(b)(2)对（2）中取b=1,f(a)=af(1)(3)把（3）带入（*），左

6、右互换ab=f(1)·ab所以f(1)=1或f(1)=－1∴所求函数为f(x)=x或f(x)=－x解法二：利用满射3月28日李兴怀华南师大附中4月1日钱展望中学数学特级教师，湖北省数学学会理事，中国数学奥林匹克高级教练。所带学生共获得7块金牌。现为珠海人大附中副校长。1.证明：（1）若x>0,y>0,则；(2)若x,y,z∈R+,则。证：（1）（2）点评：不要把问题考虑的太复杂。用“爬坡推理”2．若,证明：（1）（2）设,求证：分析用数学归纳法当n=1时，显然成立当n=2时，当n=3时，已不好判断，因为后面的项正负交错。当若设n=k时，结论成立，判断n=k+1比较简单。因为

7、（2）思考：前两道题若没有第一问，是否能做出来。3．设x,y,z∈R,满足，试证：x,y,z都不是负数，也都不大于a.分析：本题为60年代华罗庚老一辈数学家提出的问题，估计考查两问解法一：（华罗庚老一辈数学家给出）(1)消去a得若z<0，则x+y≤0x+y+z<0，矛盾.故z≥0.同理可证x≥0,y≥0.(2)令经验证X，Y，Z满足由第一问知X，Y，Z都不是负数，所以x,y,z都不大于a.以下为新的解法。解法二由（1）得z=a－(x+y),代入（2）得变形为关于x的方程：△=所以0≤y≤a;同理0≤x≤a，0≤z≤