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时间:2019-09-19
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1、现代控制理论现代控制理论试卷作业一.图为R-L-C电路,设为控制量,电感上的支路电流和电容C上的电压为状态变量,电容C上的电压为输出量,试求:网络的状态方程和输出方程(注意指明参考方向)。解:此电路没有纯电容回路,也没有纯电感电路,因有两个储能元件,故有独立变量。以电感上的电流和电容两端的电压为状态变量,即令:,由基尔霍夫电压定律可得电压方程为:从上述两式可解出,,即可得到状态空间表达式如下:=+二、考虑下列系统:-15-现代控制理论(a)给出这个系统状态变量的实现;(b)可以选出参数(或)的某个值,使得这个实现或者丧失能控
2、性,或者丧失能观性,或者同时消失。解:(a)模拟结构图如下:则可得系统的状态空间表达式:-15-现代控制理论(b)因为所以:当时,该系统不能控;当时,该系统能控。又因为:所以:当或时,该系统不能观;当且时,该系统能观。综上可知:当时或且时,该系统既不能控也不能观。三、已知系统的状态转移矩阵为:(1)试确定矩阵,并验证确为上式。(2)已知求,以下采用三种方法计算,并对计算结果进行讨论。-15-现代控制理论解:(1)利用书上P53状态转移矩阵的性质四:对于状态转移矩阵,有即当t=0时验证:(利用P59的公式(2-24)来验证)解
3、得:,,有一对复根,重根部分按公式(2-24)处理,非重根部分的仍按公式(2-23)计算。且所以:四、有两个能控能观的单输入—单输出系统:::(1)按图把、串联,针对推导状态方程。-15-现代控制理论(2)判断以上系统的能控性和能观性。(3)把串联系统的连接顺序颠倒过来,再推算系统的状态方程及能控、能观性。(4)求、及串联系统的传递函数矩阵,并对(2)和(3)讨论。解:(1)所以因而得状态方程:(2)A=b=所以所以该系统不能控。-15-现代控制理论所以所以该系统是能观的。(3)所以所以所以此时该系统能控。-15-现代控制理
4、论而所以此时该系统不能观。(4)=当、按照(2)的连接方式串联时,当、按照(2)的连接方式串联时,由上边的传递函数结果可知,当子系统串联时,颠倒其先后次序,虽然传递函数相同,但系统的能控性、能观性则不一定相同。五、试求下列系统的能控性分解及能观性分解:解:(a)能控性分解:,-15-现代控制理论所以,故该系统不能控。构造非奇异矩阵,所以(b)能观性分解:-15-现代控制理论所以所以该系统不能观。构造非奇异矩阵:,所以六、试用李雅普诺夫第二法,判断下列系统的稳定性。(1)(2)系统结构图如下,对结果进行讨论,采取什么措施可使系
5、统稳定?解:原点=0是系统的唯一平衡状态。-15-现代控制理论选取标准二次型函数为李雅普诺夫函数,即当,时,;当,时,,因此为负半定。根据判断,可知该系统在李雅普诺夫意义下是稳定的。另选一个李雅普诺夫函数,例如:=为正定,而为负定的,且当,有。即该系统在原点处是大范围渐进稳定。(2)闭(3)环系统的状态方程为其齐次方程为显然,原点为系统的唯一的平衡状态,选李雅普夫函数可见,在任意的值均保持为0,而保持为常数这表示系统运动的相轨迹是一系列以原点为圆心,为半径的圆。这时系统为李雅普诺夫的稳定,但在经典控制理论中,这种情况属于不稳
6、定,这的自由解是一个等幅的正弦振荡,要想使这个系统不稳定,必须改变系统的结构。七、图示的控制系统,试设计状态反馈矩阵,使闭环系统输出超调量和峰值时间。-15-现代控制理论解:传递函数又因为二阶系统单位阶跃响应中:根据题意要求和通过上式解答:因此设计后的极点分别为:因为传递函数没有零极点对消现象,所以原系统能控而且能观。可直接写出它的能控标准I型实现。其闭环系统结构图如下:-15-现代控制理论加入状态反馈阵,其系统结构如下图:而闭环系统特征多项式为根据极点值,得期望特征多项式:比较和各对应项系数,可得:即-15-现代控制理论八
7、、系统的状态方程如下:,,性能指标泛函分两种情况求最优控制:。(1)对没有约束(2)解:(1)原问题为自由终端状态,因而。由哈密尔顿函数又因为=0所以又沿最优轨迹线满足正则方程:边界条件通过上式联合解答:(2)由极小值原理,与符号有关,取表示的符号,取在区间,,取。下图表示求解结果。-15-现代控制理论九、试综述最有控制理论的内容及方法,分析比较二次型性能指标泛函与经典控制理论的性能指标。1.内容:现代控制理论研究的对象不再局限于单变量的,线性的,常定的,连续的系统,而扩展为多变量的,非线性的,时变的,离散的系统。现代控制理
8、论以线性代数和微分方程为主要数学工具,以状态空间法为基础,分析和设计控制系统。所谓状态空间法,本质上是一种时域分析方法,它不仅描述了系统的外部特性,而且揭示了系统的内部状态和性能。现代控制理论分析和综合系统的目标是在揭示其内在规律的基础上,实现系统在某种意义上的最优化,同时使控制系统的结构
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