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1、《线性代数》模拟试卷(二)—•二四五总分o
2、n一.填空题(每题4分，共40分)(1)设有4阶方阵A、B且141=2、网=1,贝IJ
3、IAIB
4、=16o(2)设A.B.C为同阶方阵，且AB=AC,则当
5、A
6、_^O_时，必有B=C。(3)设A为3阶方阵，且
7、A
8、=5,且B为2阶方阵且圈二3,则行列式-2A0_0-B~—20°(4)若三阶方阵A的特征值为1、2、3,则矩阵川的特征值为1、4、9。(5)设力为3阶方阵，且141二丄，贝山(2A)"-5斗1二-16o2(6)设向量组筠=(1,1,2)丁、禺=(2,3,3)、匝3=@-1,
9、2)线性无关,则2应满足条件AHl0(7)设72阶方阵4与B满足AB=A+E(E为与4同阶的单位方阵)，则犷=—B-E—。(8)若4为正交矩阵，则A二_±1o‘100、（9）若三阶方阵4与对角方阵A=010相似，则
10、A
11、=_2〔002j（10）设入是〃阶可逆阵人的一个特征值，则伴随矩阵才必有一个特征值IAI二.（8分）计算〃阶行列式x+(n-l)ax+(n-l)ax+(n-l)ax+(n-l)a厂2—厂1勺—厂1aa•…ax-a0…00•••x-a•••…0••••••=[兀+(n一l)o](x-a)n000x-aaaaxx+
12、(n-l)a‘41-2、P-3、三.（10分）设心221,B=22求X使4X=<31_1>、3-1丿4X=3：X=B而（A；1刃〜@■■■A~lB)<41-211-3、厂1一50--15-2-2、U：B）=221522221522<31-1:3一1丿,31--1丨3一1丿0-1-2Bo一2、□Ip厂3-3认0X=A~lB=-1512四、（12分）设有非齐次线性方程组兀]-2兀2+2x3=0<10-1；-2-2、<1005102、0125950105-15-3<00-1；-12一4丿<001:124,2910厂2O勺0—2厂22
13、、5丿问当兄为何值时方程组有唯一解；无解；有无穷多组解？在有无穷多组解时求它的通解.1-22厂2-2耳1-22解：
14、a
15、=2-22=022—44-22厂3-知0—A+8-6=-12+(2-4)(2-8)=才—122+20=(2-2)(2-10)(1)故当兄工2且2工10时,同北0,方程组有唯一解。(2)当2=10时<1-220、厂2—2厂1<1-220、B=2-210-2026-2j4-1022丿<0-2-62丿厂3+厂1#1-220、08-•2、026-2013--1<0000丿0000?7坷=-_8*3—2/、X]、[_
16、8、2、v兀2=_3兀3—1得通解X2—C-3+-1,(cWR)、兀3—兀303丿丿<0>(3)当2=2时<1-220、厂2-2"<1-220B—2-22-202-2-2d-222丿<06-623厂2<1--220、02-2-2<0008丿&4)=2工/?(閃=3。方程组无解。<1>(4、<1)2-1-3(12分)已知向量组丘］=1,农2=-5，&3=-4；31一6丿五.(1)求向量组的秩；(2)判别向量组的线性相关性；(3)求向量组的一个最人无关组。41、<141、<14n2-1--30-9-50951-5--40-9-50
17、00—6--7；<0-18-10；<000,X//X/(4n<10--11/9、01J015/99000000.00<000)解：对矩阵q作初等行变换4=由此可知(1)圧2，丘3)=2；(1)r=2cm=3,a^a2,a3线性相关(2)駕02为一个最大无关组。六.(18分)已知二次型/=2%j2+3兀；+3xj+4x2x3⑴求二次型.f的矩阵⑵求A的特征值和特征向豊(3)求一个正交变换，使化二次型/成标准形；(4)试问/•是否是正定二次型。(1)二次型于的矩阵‘200、A=032J)23,(2)A的特征多项式为a-ae=
18、03-A0202=(2_2)[(3_盯_4]3-A=(2-2)(2-1)(2-5)A的特征值为:人=1,易=2,人=5,求相应的特征向量对于人=1,解齐次线性方程组(A-E)x=d"00、厂100、A-E=022011,022丿/b00,x,=0/、er0、忑>=C=>Av=ci得A1兀3=一°<-b<-b对于2。=2,解齐次线性方程组(4一2E)x=o‘00()、'()0()、(4—2E)=012010<02I,,001丿x}=c/<0=c0得昌2=0无=°对于入=5,解齐次线性方程组(A-5E)x=o<-
19、300、<100、A-5E=0-2201-1<02—2)丿<00°丿%j=0/、"0、了0、*x2=x2=>尤2=C1得“1兀3=兀2(3)实对称矩阵A三个特征值不相同，&怎怎必两两正交，对$岳2怎单位化—♦r0>—><0卩1§—♦§1r1；'2=H=0<0>；万3=££-—
