中考 精品解析(二次函数的应用)

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1、1．（2010山东济南，24，9分）如图，已知抛物线经过点（1，-5）和（-2，4）（1）求这条抛物线的解析式．（2）设此抛物线与直线y=x相交于点A，B（点B在点A的右侧），平行于轴的直线与抛物线交于点M，与直线交于点N，交轴于点P，求线段MN的长（用含的代数式表示）．（3）在条件（2）的情况下，连接OM、BM，是否存在的值，使△BOM的面积S最大？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．xOPNMBAyy=xx=m【分析】（1）可利用待定系数法，将（1，-5）和（-2，4）代入中，求得b、c的值，从而求得抛物线的解析式；（2）线段MN的长等于PN+MP

2、，分别用含m的代数式表示PN、MP即可求得MN的长；（3）△BOM的面积可看作△OMN与△BMN的和，求△OMN的面积可以MN为底、OP为高；求△BMN可以MN为底、过B点作MN的垂线段为高，利用三角形的面积公式即可求得，并用含m的代数式表示，进而可求得△BOM的面积是否存在最大值。【答案】（1）由题意得，解得b=—2，c=—4，故抛物线解析式为y=x2—2x—4（2）由题意得，解得，，∴B点坐标为（4，4）将x=m代入y=x得y=m，点N的坐标为（m，m），同理点M的坐标为（m，m2—2m—4）∴点P的坐标为（m，0），PN=│m│，MP=│m2—2m—4

3、│，∵0＜m＜，第65页共65页∴MN=PN+MP=—m2+3m+4（3）作BC⊥MN于点C，则BC=4—m，OP=m，S=MN·OP+MN·BC=2（—m2+3m+4）=—2（m—）2+，∵—2＜0，∴当m=时，S有最大值【涉及知识点】待定系数法、函数图象交点坐标意义、三角形面积的计算、二次函数的最值【点评】本题是一道一次函数、二次函数的综合题，解题的关键是理解两个函数图象交点坐标的意义及求法，在探求△BOM的面积的过程中，利用了割补思想，将不规则图形的面积转化为底与坐标轴平行的直线上来解决，这也是解决二次函数综合题中求面积问题的基本数学思想方法。【推荐指

4、数】★★★★★2．（2010巴中，31，12分）如图12已知△ABC中，∠ACB＝90°以AB所在直线为x轴，过C点的直线为y轴建立平面直角坐标系．此时，A点坐标为（一1，0），B点坐标为（4，0）（1）试求点C的坐标（2）若抛物线过△ABC的三个顶点，求抛物线的解析式．（3）点D（1，m）在抛物线上，过点A的直线y=－x－1交（2）中的抛物线于点E，那么在x轴上点B的左侧是否存在点P，使以P、B、D为顶点的三角形与△ABE相似？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由。DGH【分析】要求点C的坐标，只要求出OC的长，利用△ACO∽△CBO可求出OC的长；A

5、、B、C三点的坐标都已知，用一般式来求抛物线的解析式；求直线与抛物线的交点要把两个解析式联立成方程组，使以P、B、D为顶点的三角形与△ABE相似既要注意它们的对应关系，也要注意点P的位置。【答案】（1）∵∠ACB＝90°，CO⊥AB，△ACO∽△CBO，∴，CO=2，则C（0，2）；第65页共65页（2）抛物线过△ABC的三个顶点，则，∴，抛物线的解析式为；（3）点D（1，m）在抛物线上，，∴D（1，3），把直线y=－x－1与抛物线联立成方程组∴，∴E（5，－6）,过点D作DH垂直于x轴,过点E作EG垂直于x轴,DH=BH=3,∴∠DBH=45°,BD=,A

6、G=EG=6,∴∠EAG=45°,AE=,当P在B的右侧时,∠DBP=135°≠∠ABE,两个三角形不相似,所以P点不存在；当P在B的左侧时ⅰ)△DPB∽△EBA时，，，∴P的坐标为（，0），ⅱ)△DPB∽△BEA时，，，∴P的坐标为（，0），所以点P的坐标为（，0）或（，0）。【涉及知识点】二次函数、相似【点评】本题主要考查了用待定系数法求解析式、勾股定理、相似等代数、几何知识，是一道综合性极强的一道题目，用到了分类讨论思想、数形结合思想、方程思想、函数思想等数学思想方法，培养了综合分析问题和解决问题的能力．本题也是一道存在性探索性问题，在解决这一类存在性

7、探索问题时主要应注意：首先假定这个数学对象已经存在，根据数形结合的思想，将其构造出来；然后再根据已知条件与有关性质一步步地进行探索，如果探索出与条件相符的结果，就肯定存在，否则不存在，探索过程就是理由.另在运用分类讨论的方法解决问题时，关键在于正确的分类，因而应有一定的分类标准，如本题中点P的位置和它们的对应关系。【推荐指数】★★★★★3．（2010山东济宁，23，10分）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，﹣1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧）．已知A点坐标为（0，3）．（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B作线段AB的垂线交

8、抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请