倒立摆系统的最优控制应用研究

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1、倒立摆系统的最优控制应用研究张弛1（1兰州理工大学机电工程学院甘肃兰州，730050）摘要：针对倒立摆系统的不稳定性，对最优控制理论在倒立摆控制系统中的应用进行了分析,设计LQR控制器，并在倒立摆实验装置上进行了实验。实验结果表明设计的控制器是有效的，对倒立摆系统的平衡稳定控制效果好，提高了系统的抗干扰能力。关键词：倒立摆；最优控制；MATLAB仿真Abstract:Thispaperreviewstheapplicationsoftheoryofoptimalcontrolforinvertedpendulum,designaLQRController

2、.Simulationandexperimentshowthatthepresentedmethodiseffective.andsystemhasgoodstabilityandgoodrobustness.Keywords:Invertedpendulum;Optimalcontrol;Matlabsimulation中图分类号：TP130引言倒立摆作为典型的快速、多变量、非线性、不确定系统,一直是控制领域研究的热点。许多研究人员一直将它视为典型的研究对象，不断从中发掘出新的控制策略和控制方法。其控制方法在军工、航天、机器人领域及一般工业过程中都有着

3、广泛的应用。针对不稳定的倒立摆系统的平衡控制，应用最优控制理论设计控制器。1线性二次最优控制LQR基本原理及分析线性二次最优控制LQR基本原理，由系统方程：X=AX+Bu确定下列最佳控制向量的矩阵K：ut=-K*X(t)使得性能指标达到最小值：J=0∞(XTQX+uTRu)dt式中，Q为正定(或正半定)厄米特或实对称阵；R为正定厄米特或实对称阵。方程右端第二项是考虑到控制能量的损耗而引进的，矩阵Q和R确定了误差和能量损耗的相对重要性。并且假设控制向量u(t)是无约束的。对线性系统：X=AX+buY=CX根据期望性能指标选取Q和R，利用MATLAB命令lq

4、r就可以得到反馈矩阵K的值。K=lqr(A，B，Q，R)改变矩阵Q的值，可以得到不同的响应效果，Q的值越大(在一定的范围之内)，系统抵抗干扰的能力越强，调整时间越短。但是Q不能过大。2倒立摆LQR控制参数调节及仿真针对直线型一级倒立摆系统应用LQR法设计与调节控制器，控制摆杆保持竖直向上平衡的同时，跟踪小车的位置，倒立摆最优控制LQR控制原理图如图1所示。图1倒立摆最优控制LQR控制原理图直线一级倒立摆系统的以小车加速度作为输入的系统状态方程：xx∅∅=0100000000010029.40xx∅∅+0103uy=x∅=10000010xx∅∅+00u'

5、四个状态量x、x、φ、∅分别代表小车位移、小车速度、摆杆角度和摆杆角速度，输出y包括小车位置和摆杆角度。应用线性反馈控制器，设计控制器使得当给系统施加一个阶跃输入时，摆杆会摆动，然后仍然回到垂直位置，小车可以到达新的指定位置。假设全状态反馈可以实现（四个状态量都可测），找出确定反馈控制规律的向量K。在Matlab中得到最优控制器对应的K。Lqr函数允许你选择两个参数——R和Q，这两个参数用来平衡输入量和状态量的权重。最简单的情况是假设R=1，Q=CTC。当然，也可以通过改变Q矩阵中的非零元素来调节控制器以得到期望的响应。Q=CT*C=1000000000

6、100000其中，Q1,1代表小车位置的权重，而Q3,3是摆杆角度的权重，输入的权重R是1。Matlab语句为K=lqr(A，B，Q，R)。求得K=[-1-1.785525.4224.6849]在Simulink中建立直线一级倒立摆的模型如图2所示。图2直线一级倒立摆LQR控制仿真模型得到如下仿真结果：LQR控制的阶跃响应如图3所示，其中CartPos为小车的位置曲线，CartSpd为小车的速度曲线，PendAng为摆杆角度曲线，PendSpd为摆杆角速度曲线，从图中可以看出，闭环控制系统响应的超调量很小，但稳定时间和上升时间偏大，我们可以通过增大控制量

7、来缩短稳定时间和上升时间。图3LQR控制的阶跃响应可以发现，Q矩阵中，增加Q1,1使稳定时间和上升时间变短，并且使摆杆的角度变化减小。这里取Q1,1=1000，Q3,3=200。则K=[-31.623-20.15172.71813.155]输入参数，运行得到响应曲线如图4所示图4直线一级倒立摆响应曲线从图中可以看出，系统响应时间有明显的改善，增大Q1,1和Q3,3，系统的响应还会更快，但是对于实际离散控制系统，过大的控制量会引起系统振荡。3直线一级倒立摆LQR实时控制实时控制实验在MATALBSimulink环境下进行，直线一级倒立摆LQR实时控制模块如

8、图5所示。图5LQR实时控制模块实时控制模块“RealControl”模块如图6