现代控制理论(刘豹、唐万生)第3章答案总结

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1、3-6已知系统的微分方程为：试写出其对偶系统的状态空间表达式及其传递函数。解：系统的状态空间表达式为传递函数为其对偶系统的状态空间表达式为：传递函数为3-7已知能控系统的A,b阵为：试将该状态方程变换为能控标准型。解：该状态方程的能控性矩阵为rankM=2，矩阵非奇异，系统能控。系统特征多项式：可知a1=-5，a0=10。所以此即为该状态方程的能控标准形。取P=TC-1该状态方程的能控性矩阵为知它是非奇异的。求得逆矩阵有，由得同理，由得从而得到由此可得，所以，此即为该状态方程的能控标准形。3-8已知能观系统的A，b，C阵为：试将该状态空

2、间表达式转换为能观标准型。能观标准型有两种形式：能观标准Ⅰ型和能观标准Ⅱ型。解：能观标准Ⅰ型：能观标准Ⅱ型：3-9已知系统的传递函数为：试求其能控标准型和能观标准型。系统传递函数为试求其能控标准型与能观标准型。解：先将变为真分式形式：，其中。由此可得到其能控Ⅰ型实现为：(*)由对偶原理，将上式中的各矩阵做转置，可得系统能观Ⅱ型实现为：(**)由于两个对偶系统所实现的传递函数阵互为转置关系，而题目中所给的是单入单出系统，因此（*）与（**）都是的实现。3-10.给定下列状态方程，试判别其能否变换为能控和能观标准型1.求能控性判别阵Mran

3、kM=2<3,所以系统不能控2.求能观性判别阵NrankN=3，所以系统能观补充：（1）能观标准Ⅰ型，取变换矩阵状态空间表达式的能观标准Ⅰ型为：（2）能观标准Ⅱ型3-11试将下列系统按能控性进行结构分解（1）A=，b=,C=(1,-1,1)（2）A=，b=,C=(1,-1,1)(1)解：系统的能控性判别矩阵b=Ab==b==M=(bAbb)=rankM=2

4、不完全能控构造非奇异变换阵:=b==Ab====变换后的=A+bu=+=+u=C=(1-11)=(1-1-1)3-12试将下列系统按能观性进行结构分解（1）（2）解：（1）系统的能观性判别矩阵：CACNrankN=2

5、按能控性和能观性进行结构分解。(1)（2）解：(1)由求出系统的特征值：时，设时，设时，设求出约当矩阵J为：与每个约当块最后一行相对应的各行元素不全为0，完全能控。与每个约当块第一列相对应的各列元素不全为0，完全能观。（2）由求出系统的特征值：由以下四个矩阵:求出P:求出约当矩阵J为：分别为：不能控能观、能控能观、不能控不能观、能控不能观。3-14求下列传递函数阵的最小实现。（1）（2）解：（1），，，，系统能控不能观取，则所以，，所以最小实现为，，，验证：（2）先写出能控标准型实现解：w(s)==0=0=0===m=n=2======

6、=M=rank(M)=6N=rank(N)=3系统能控不能观能观性分解========经验证系统最小实现为====验证C=W(s)3-15设和是两个能控且能观的系统（1）试分析由和所组成的串联系统的能控性和能观性，并写出其传递函数；（2）试分析由和所组成的并联系统的能控性和能观性，并写出其传递函数。解：（1）和串联当的输出是的输入时，，则rankM=2<3，所以系统不完全能控。当得输出是的输入时，因为rankM=3则系统能控因为rankN=2<3则系统不能观（2）和并联，因为rankM=3，所以系统完全能控因为rankN=3，所以系统完

7、全能观