考点40曲线与方程、圆锥曲线的综合应用

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1、考点40曲线与方程、圆锥曲线的综合应用一、选择题1.(2015•新课标全国卷I文科-T5)Q知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为错误！未找到引用源。，E的右焦点与抛物线C:y2=8x的焦点重合，点A,B是C的准线与E的两个交点，则错误！未找到引用源。二()A.3B.6C.9D.12【解析】选B.设椭圆E的方程为=l(a>b>0)c=2依题意得£_丄，解得a=4,由卫222"06-日2,所以椭圆E的方程为話+誇“因为抛物线C:/=8x的准线为x=-2,22将3代入至哈煌“，解得AC2,3),心,5故错误!未找到引用源。=6.222.(201

2、5•重庆高考理科•T10)设双曲线斗-弓=1(°>0上>0)的右焦点为F,右顶er方_点为A,过F作AF的垂线与双曲线交TB,C两点，过B,C分别作AC,AB的垂线，两垂线交于点D,若D到直线BC的距离小于a+JciS则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是()A(-1,O)U(O,1)B(-oo,-l)U(l,+QO)C.(-V2,0)U(0,V2)D-a/2)U(V2,+oo)【解题指南】解答本题首先根据条件求出交点D的处标，然后利用距离小于a山+护求解渐近线斜率的取值范围.【解析】选A.由题意知F(c,0),A(d,0),其中c=la

3、2+b2联立兀22,可解得),C(c,-—)—-2_=iaa[a2b2_££__匚—c+d_匚_c+d線一右一〒如一右一〒所以AC的垂线BD的斜率为kBD=丄,直线方程为y--=^-(x-c)c+aac+aAB的垂线CD的斜率为，直线方程为y+-=-^-(x-c)b2_a联立D(c_b"j"),0)至lj直线BC：x=c的距离»(°J()0

4、)交于点0,A,B,若AOAB的垂心为C?的焦点，则G的离心率为.【解题指南】本题是双曲线与抛物线性质的综合应用，应从焦点和垂心出发构造a,b,c和P的关系，进而求出离心率e.【解析】由对称性知AOAB是以AB为底边的等腰三角形，注意到双曲线的渐近线方程为y=±—x,抛物线的焦点F(0,—),设点—,则加2=2”x°加，由a2aaabp——ITl——的垂心为F,得%・咯=一，—x-=-l,消去加得—辿亠辿=2p,即-maaa2b£=>,所以故。=£=?./44a2答案：424.(2015-新课标全国卷I理科•T14)-个圆经过椭圆错误

5、！未找到引用源。+错误！未找到引用源。=1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为・【解题指南】设出圆的方程为(x-a)2+y2=r2,然后由两点间距离公式求解.【解析】设圆心为(a,0),则圆的方程为(x-a)2+y2=r2,依题意得如+2?=Jg",解得3a=—,2r2=—,所以圆的方程为(x--)2+/=—.424答案:(兀-討+宀手三、解答题4.(2015•新课标全国卷II理科•T20)(12分)已知椭圆C:9x2+y2=m2(m>0),直线/不过原点0且不平行于坐标轴，/与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.

6、(1)证明：宜线0M的斜率与I的斜率的乘积为定值.(2)若I过点(错误！未找到引用源。，m),延长线段0M与C交丁•点P,四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时I的斜率，若不能，说明理由.【解题指南】⑴将直线y二kx+b(kH0,bHO)与椭圆C:9x2+y2=m2(m>0)联立，结合根与系数的关系及屮点坐标公式证明.(2)由四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段0P互相平分求解证明.【解析】(1)设直线Z:y二kx+b(kHO,bHO),A(x】,yj,B(x2,y2),M(xm,yM).将y二kx+b代入9x2+y2

7、=m2得(k2+9)x2+2kbx+b2-m2=0,故=刁十勺=、",2L+99bF+9*于是直线OM的斜率/w=^L=-lk即k0M-k=-9,所以直线0M的斜率与/的斜率的积是定值.(2)四边形OAPB能为平行四边形.因为直线I过点(错误！未找到引用源。，m),所以/不过原点且与C有两个交点的充要条件是k>0,kH3・由(1)得0M的方程为y-错误！未找到引用源。x.设点P的横坐标为Xp・9y=——xkk2m2。2/得©—肿+819%^+y=±km3肿+9将点少)的坐标代"的方程得"咛2'因此"笋誥四边形为平行四边形当口仅当线段与线

8、段OP互相评分，即卩=2心.于是申L=比，解得何=4-",込=4+荷・3a/FT937^79厶因为ki>0,kiH3,i二1,2,所以当/的斜率为4-错误！未找到引用源。或4+错误！未找到引用源。时，四边形