[精品]考点45曲线与~方程、圆锥曲线的综合应用

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1、.考点45一、解答题1.（2014·安徽高考文科·Ｔ21）设,分别是椭圆：的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点，(1)若的周长为16，求；(2)若，求椭圆的离心率.【解题提示】（1）利用椭圆的定义求解；（2）设，用k表示利用余弦定理解得出等腰，从而得到a,c的关系式。【解析】（1）由，得，因为的周长为16，所以由椭圆定义可得，故。（2）设，则k>0,且由椭圆定义可得在中，由余弦定理可得即，化简可得，而a+k>0,故a=3k,于是有，因此,故为等腰直角三角形，从而。2（2014·安徽高考理科·Ｔ19）如图，已知两条抛物线和，过原点的两条直线和，

2、与分别交于两点，与分别交于两点..(1)证明：；(2)过原点作直线（异于，）与分别交于两点。记与的面积分别为与,求的值.【解题提示】（1）设出两条直线的方程，联立抛物线方程，求出点，的坐标，利用向量证明平行关系；（2）利用两个相似三角形的面积比等于相似比的平方进行求解。【解析】（1）设直线的方程分别为，则由，由，同理可得，所以=，=故=，所以。（2）由（1）知，同理可得，，所以，因此,又由（1）中的=知，故3.（2014·四川高考理科·Ｔ20）已知椭圆C：（）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．（1）求椭圆C的标准方程；

3、（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．①证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；.②当最小时，求点T的坐标.【解题提示】本题主要考查椭圆的标准方程、直线与方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查数形结合、划归与转化、分类与整合等数学思想.【解析】（1）依条件，所以椭圆C的标准方程为（2）设，，，又设中点为，①因为，所以直线的方程为：，，所以，于是，，所以．因为，所以，，三点共线，即OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）．②，，所以，令（），则（当且仅当时取“”），所以当最小时，即或，此时点T的

4、坐标为或.4（2014·四川高考文科·Ｔ20）已知椭圆：（）的左焦点为，离心率为．.（1）求椭圆的标准方程；（2）设为坐标原点，为直线上一点，过作的垂线交椭圆于，．当四边形是平行四边形时，求四边形的面积．【解题提示】本题主要考查椭圆的标准方程、直线与方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合、划归与转化、分类与整合等数学思想.【解析】（1）依条件，且，所以椭圆C的标准方程为.（2）设点的坐标为（，），则直线的斜率.当时，直线的斜率，直线的方程是.当时，直线的方程是，也符合的形式.设，将直线的方程与椭圆的

5、方程联立，得.消去，得.其判别式>.所以，，.因为四边形是平行四边形，所以,即.所以.解得.此时四边形的面积.5.（2014·重庆高考文科·Ｔ21）如图，设椭圆的左、右焦点分别为，点.在椭圆上，的面积为.(1)求椭圆的标准方程;(2)是否存在设圆心在轴上的圆,使原在轴的上方与椭圆有两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点?若存在,求出圆的方程,若不存在,请说明理由.【解题提示】(1)直接根据椭圆的定义及题设条件可求出椭圆的标准方程.(2)直接设出交点坐标然后根据椭圆与圆的对称性列出方程组求解.【解析】(1)设其中由得从

6、而故从而由得因此所以故因此，所求椭圆的标准方程为（2）如图，设圆心在轴上的圆与椭圆相交，是两个交点，是圆的切线，且由圆和椭圆的对称性，易知，.由（1）知所以再由得由椭圆方程得即解得或当时，重合，此时题设要求的圆不存在.当时,过分别与垂直的直线的交点即为圆心设由得而故圆的半径综上,存在满足题设条件的圆,其方程为6（2014·湖北高考理科·Ｔ21）在平面直角坐标系中，点M到点的距离比它到轴的距离多1，记点M的轨迹为C.(1)求轨迹为C的方程(2)设斜率为k的直线过定点，求直线与轨迹C恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时k的相应取值范围。【解

7、题指南】（Ⅰ）设出M点的坐标，直接由题意列等式，整理后即可得到M的轨迹C的方程；（Ⅱ）设出直线l的方程为，和（Ⅰ）中的轨迹方程联立化为关于y的一元二次方程，求出判别式，再在直线y-1=k（x+2）中取y=0得到，然后分判别式小于0、等于0、大于0结合x0＜0求解使直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．【解析】（Ⅰ）设点,依题意得，即化简整理得故点的轨迹的方程为。（Ⅱ）在点的轨迹中，记.依题意，可设直线的方程为由方程组，可得①（1）当时，此时，把带入轨迹的方程，得故此时直线与轨迹恰好有一个公共点（2）当时，方

8、程①的判别式②设直线与轴的交点为，则由，令，得③（ⅰ）若，由②③解得，或。即当时，直线与没有公共点，与有一个公共点，故此时直线与轨迹恰好有一个公共点。（ⅱ）若或由②