专题(五)动量和能量的综合

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专题（五）　动量和能量的综合一、重点剖析1．独立理清两条线：一是力的时间积累——冲量——动量定理——动量守恒；二是力的空间移位积累——功——动能定理——机械能守恒——能的转化与守恒．把握这两条主线的结合部：系统。即两个或两个以上物体组成相互作用的物体系统。动量和能量的综合问题通常是以物体系统为研究对象的，这是因为动量守恒定律只对相互作用的系统才具有意义。2．解题时要抓特征扣条件，认真分析研究对象的过程特征，若只有重力、系统内弹力做功就看是否要应用机械能守恒定律；若涉及其他力做功，要考虑能否应用动能定理或能的转化关系建立方程；若过程满足合外力为零，或者内力远大于外力，判断是否要应用动量守恒；若合外力不为零，或冲量涉及瞬时作用状态，则应该考虑应用动量定理还是牛顿定律．3．应注意分析过程的转折点，它是不同物理过程的交汇点，也是物理量的联系点，一般涉及能量变化过程，例如碰撞中动能可能不变，也可能有动能损失，而爆炸时系统动能会增加．二、考点透视考点1、碰撞作用碰撞类问题应注意：⑴由于碰撞时间极短，作用力很大，因此动量守恒；⑵动能不增加，碰后系统总动能小于或等于碰前总动能，即；⑶速度要符合物理情景：如果碰前两物体同向运动，则后面的物体速度一定大于前面物体的速度，即，碰撞后，原来在前面的物体速度一定增大，且；如果两物体碰前是相向运动，则碰撞后，两物体的运动方向不可能都不改变，除非两物体碰撞后速度均为零。例1A、B两球在光滑水平面上沿同一直线运动，A球动量为pA=5kg·m/s，B球动量为pB=7kg·m/s，当A球追上B球时发生碰撞，则碰后A、B两球的动量可能是：（）A．pA=6kg·m/s、pB=6kg·m/s　　　　B．pA=3kg·m/s、pB=9kg·m/sC．pA=-2kg·m/s、pB=14kg·m/s　　　D．pA=5kg·m/s、pB=17kg·m/s解析：动量守恒四个选项都满足，那么第二个判断依据是速度：A的动量不可能原方向增大，A错；第三个判断依据是能量关系：碰后系统总动能只能小于等于碰前总动能。计算得BC正确D错。碰前总动能为，由，A要追上B，则有，即.对B项，有，得，满足，B正确；对C，有,,同样满足，C正确.答案：BC 考点2、爆炸和反冲：⑴爆炸时内力远大于外力，系统动量守恒；⑵由于有其它形式的能转化为动能（机械能），系统动能增大。例22007年10月24日18时05分，中国首枚绕月探测卫星“嫦娥一号”顺利升空，24日18时29分，搭载“嫦娥一号”的“长征三号甲”火箭成功实施“星箭分离”。此次采用了爆炸方式分离星箭，爆炸产生的推力将置于箭首的卫星送入预定轨道运行。为了保证在爆炸时卫星不致于由于受到过大冲击力而损坏，分离前关闭火箭发动机，用“星箭分离冲击传感器”测量和控制爆炸作用力，使星箭分离后瞬间火箭仍沿原方向飞行，关于星箭分离，下列说法正确的是（）A．由于爆炸，系统总动能增大，总动量增大B．卫星的动量增大，火箭的动量减小，系统动量守恒C．星箭分离后火箭速度越大，系统的总动能越大D．若爆炸作用力持续的时间一定，则星箭分离后火箭速度越小，卫星受到的冲击力越大解析：由于爆炸，火药的化学能转化为系统动能，因此系统总动能增大。爆炸力远大于星箭所受外力（万有引力），系统动量守恒，卫星在前，动量增大，火箭仍沿原方向运动，动量则一定减小，A错B对；，又，分离后总动能，联立解得，式中v是星箭分离前的共同速度，依题意，即，因此火箭速度v2越大，分离后系统总动能越小，（也可用极限法直接判断：假设星箭分离后星箭速度仍相等，则动能不变，火药释放的能量为0，系统总动能为最小）C错；爆炸力为一对相互作用的内力，因此大小相等、作用时间相同，卫星和火箭受到的爆炸力的冲量大小一定相等，分离后火箭速度越小，则火箭动量的变化量越大，所受爆炸力的冲量越大，则卫星受到的冲量（与火箭受到的爆炸力的冲量等大反向）越大，相互作用时间一定，则卫星受到的冲击力越大，D正确。答案：BD考点3、两个定理的结合例3：如图所示，质量m1为4kg的木板A放在水平面C上，木板与水平面间的动摩擦因数μ=0.24，木板右端放着质量m2为1.0kg的小物块B(视为质点)，它们均处于静止状态.木板突然受到水平向右的的瞬时冲量I作用开始运动，当小物块滑离木板时，木板的动能为8.0J，小物块的动能为0.50J，重力加速度取10m/s2,求：（1）瞬时冲量作用结束时木板的速度V0.（2）木板的长度L解析：(1)设水平向右为正方向，有①代入数据解得②(2)设A对B、B对A、C对A的滑动摩擦力的大小分别为、和，B在A上滑行时间为t，B离开A时A和B的速度分别为和，有③④其中，⑤ 设A、B相对于C的位移大小分别为和，有⑥⑦动量与动能之间的关系为⑧⑨木板的长度⑩代入数据得L=0.50m三、热点分析热点1、子弹打木块模型例1如图5-4所示，在光滑的水平地面上静止着质量为的木块，一粒质量为初速为的子弹水平击中木块，打入深度为，试求转化为内能的值是多少？解析：水平面光滑，动量守恒，以子弹初速度方向为正方向，，子弹和木块发生的是完全非弹性碰撞，损失的动能最多，通过内力做负功转化为系统的内能：例2如图5-5所示，质量为的天车静止在光滑轨道上，下面用长为的细线悬挂着质量为的沙箱，一颗质量为的子弹，以的水平速度射入沙箱，并留在其中，在以后运动过程中，求：沙箱上升的最大高度。解析：子弹打入沙箱，水平方向动量守恒，，此后由天车、沙箱和子弹组成的系统机械能守恒，当沙箱上摆到最高点时，系统具有相等的水平速度，损失的动能转化为沙箱的重力势能，运用“子弹打木块”的结论，，联系以上两式，则沙箱上升的最大高度为：。热点2、人船模型　例3如图5-6所示浮动起重机从岸上吊起m=2t的重物。开始时浮吊起重杆OA与竖直方向成60°角，当转至杆与竖直方向成30°角时，求起重机的水平方向的位移。设浮吊质量为20t，起重杆长l=8m，水的阻力与杆重均不计。解析： 浮吊与重物组成的系统水平方向不受外力，动量守恒且初总动量为零，为一人船模型，则：解得x=0.266m，热点3“带弹簧的木板与滑块”模型例4（2006年天津）如图5-7所示，坡道顶端距水平面高度为h，质量为m1的小物块A从坡道顶端由静止滑下，进入水平面上的滑道时无机械能损失，为使A制动，将轻弹簧的一端固定在水平滑道延长线M处的墙上，另一端与质量为m2的档板相连，弹簧处于原长时，B恰好位于滑道的末端O点。A与B碰撞时间极短，碰撞后结合在一起共同压缩弹簧。已知在OM段A、B与水平面间的动摩擦因数为μ，其余各处的摩擦不计，重力加速度为g，求（1）物块A在档板B碰撞瞬间的速度v的大小；（2）弹簧最大压缩时为d时的弹性势能EP（设弹簧处于原长时弹性势能为零）。解析：（1）由机械能守恒定律得，有　　　　（2）A、B在碰撞过程中动量守恒有A、B克服摩擦力所做的功W＝由能量守恒定律得：解得五、能力突破1.动量守恒和机械能守恒的应用例2如图5-8所示，滑块A、B的质量分别为m1与m2，m1＜m2，由轻质弹簧相连接置于水平的气垫导轨上，用一轻绳把两滑块拉至最近，使弹簧处于最大压缩状态后绑紧。两滑块一起以恒定的速率v0向右滑动。突然轻绳断开，当弹簧伸至本身的自然长度时，滑块A的速度正好为0。求：(1)绳断开到第一次恢复自然长度的过程中弹簧释放的弹性势能Ep；(2)在以后的运动过程中，滑块B是否会有速度为0的时刻?试通过定量分析证明你的结论.解析：(1)当弹簧处压缩状态时，系统的机械能等于两滑块的动能和弹簧的弹性势能之和，当弹簧伸长到自然长度时，弹性势能为0，因这时滑块A的速度为0，故系统的机械能等于滑块B的动能。设这时滑块B的速度为v，则有。因系统所受外力为0，由动量守恒定律(m1+m2)v0=m2v解得由于只有弹簧的弹力做功，系统的机械能守恒得：(2)假设在以后的运动中滑块B可以出现速度为0的时刻，并设此时A的速度为v1，弹簧的弹性势能为Ep’，由机械能守恒定律得 根据动量守恒得(m1+m2)v0=m1v1，求出v1代入上式得:因为Ep’≥0，故得:即m1≥m2，这与已知条件中m1＜m2不符。可见在以后的运动中不可能出现滑块B的速度为0的情况。2.动量守恒、机械能守恒与圆周运动结合例2（2006年重庆）如图5-9所示，半径为R的光滑圆形轨道固定在竖直面内。小球A、B质量分别为m、βm（β为待定系数）。A球从左边与圆心等高处由静止开始沿轨道下滑，与静止于轨道最低点的B球相撞，碰撞后A、B球能达到的最大高度均为,碰撞中无机械能损失。重力加速度为g。试求：（1）待定系数β;（2）第一次碰撞刚结束时小球A、B各自的速度和B球对轨道的压力;（3）小球A、B在轨道最低处第二次碰撞刚结束时各自的速度，并讨论小球A、B在轨道最低处第n次碰撞刚结束时各自的速度。解析：（1）由机械能守恒定律可得：mgR＝+得　　　　β＝3　（2）设A、B碰撞后的速度分别为v1、v2，则　　　=　　　=设向右为正、向左为负，解得　　v1＝，方向向左　v2＝，方向向右设轨道对B球的支持力为N，B球对轨道的压力为N/，方向竖直向上为正、向下为负。则　N－βmg＝βm　　　　　　N/＝－N＝－4.5mg，方向竖直向下（3）设A、B球第二次碰撞刚结束时的速度分别为V1、V2，则解得：V1＝－，V2＝0（另一组：不合题意，舍去）当n为奇数时，小球A、B在第n次碰撞刚结束时的速度分别与第一次碰撞刚结束时相同；当n为偶数时，小球A、B在第n次碰撞刚结束时的速度分别与第二次碰撞刚结束时相同3.碰撞中动量与能量结合问题例3（2008年四川）一倾角为的斜面固定于地面，斜面顶端离地面的高度h0=1m，斜面底端有一垂直于斜面的固定挡板。在斜面顶端自由释放一质量m=0.09kg的小物块（视为质点）。小物块与斜面之间的动摩擦因数u=0.2。当小物块与挡板碰撞后，将以原速返回。重力加速度g=10m/s2。在小物块与挡板的前4次碰撞过程中，挡板给予小物块的总冲量是多少？解析：设小物块从高为h处由静止开始沿斜面向下运动，到达斜面底端时速度为v，由功能关系得:① 以沿斜面向上为动量的正方向，碰撞过程中挡板给小物块的冲量:②设碰撞后小物块所能达到的最大高度为，则③同理，有:④⑤式中，为小物块再次到达斜面底端时的速度，为再次碰撞过程中挡板给小物块的冲量。由①②③④⑤式得⑥式中⑦可知小物块前4次与挡板碰撞所获得冲量成等比级数，首项为⑧总冲量为:⑨由⑩得代入数据得4.功能关系在电学中的综合应用例4如图所示，将边长为a、质量为m、电阻为R的正方形导线框竖直向上抛出，穿过宽度为b、磁感应强度为B的匀强磁场，磁场的方向垂直纸面向里．线框向上离开磁场时的速度刚好是进人磁场时速度的一半，线框离开磁场后继续上升一段高度，然后落下并匀速进人磁场．整个运动过程中始终存在着大小恒定的空气阻力f且线框不发生转动．求：（1）线框在下落阶段匀速进人磁场时的速度V2；(2）线框在上升阶段刚离开磁场时的速度V1；（3）线框在上升阶段通过磁场过程中产生的焦耳热Q．解析：线框在上升过程中受到向下的重力和安培力还有空气阻力的作用，其中克服重力做功只是使重力势能发生变化，不改变线框的机械能，而安培力做功和克服空气阻力做功转化成焦耳热。在上升过程中已知进入磁场和离开磁场的速度关系，可由能量守恒定律列出产生焦耳热的表达式；由于线框向上离开磁场时还有一定的速度，在重力和空气阻力的作用下继续向上运动到最高点又返回进入磁场，这个过程中克服空气阻力做功使机械能继续减小；再次进入磁场时，线框匀速运动，重力、空气阻力和安培力平衡。（1）由于线框匀速进入磁场，则合力为零，有，解得（2）设线框离开磁场能上升的高度为h,则从刚离开磁场到刚落回磁场的过程中解得， （3）在线框向上刚进入到磁场到刚离开磁场的过程中，根据能量守恒定律和转化定律可得：　解得：。四、专题专练：一、选择题1．以下说法中，正确的是（）A．一个物体所受的合外力为零，它的机械能一定守恒B．一个物体所受合外力的冲量为零，它的机械能可能守恒C．一个物体做匀速直线运动，它的机械能一定守恒D．一个物体所受的合外力对它不做功，这个物体的动量一定不发生变化２．美国著名的网球运动员罗迪克的发球速度时速最快可达60m/s，这也是最新的网球发球时速的世界记录，可以看作罗迪克发球时使质量约为60g的网球从静止开始经0.02s后速度增加到60m/s，则在上述过程中，网球拍对网球的作用力大小约为（）A.180N　　　B.90N　　　　　　C.360N　　　　D.1800N３．如图１所示，A、B两物体质量比为1：2。原来静止在平板小车C上，A、B之间有一根被压缩了的弹簧，A、B与车面间的动摩擦因数之比为2：1，平板小车C与地面之间的摩擦不计，当弹簧释放后，若弹簧释放时弹力大于两物体与车间的摩擦力，则下列判断中正确的是（）A.小车将向左运动B.小车将向右运动C.A、B两物体组成的系统的总动量守恒D.A、B、C三者组成的系统的总动量守恒４．质量为1.0kg的小球从高20m处自由下落(空气阻力不计，g取10m/s2)到软垫上，反弹后上升最大高度为5.0m，小球与软垫接触的时间为1.0s，在接触时间内小球受到软垫的平均作用力为（）A.30N　　　B.40N　　　　　　C.60N　　　　D.80N５．质量为m的质点，在水平面内以速度v做半径为R的匀速圆周运动．如图2所示，质点从位置A开始经半个周期到位置B的过程中，所受的合外力的冲量是（）A.0　　　B.　mv　　　　　C.2mv　　　　D.６．发射同步卫星的一种方法是：先用火箭将星体送入一近地轨道运行，然后再适时开动星载火箭，将其通过椭圆形过渡轨道，最后送上与地球自传同步运动的圆形轨道，那么变轨后与变轨前相比，卫星（）A.机械能增大，动能增大B.机械能增大，动能减小C.机械能减小，动能减小D.机械能减小，动能增大７．在粗糙的水平面商运动的物体，从a点开始受到一个水平恒力F的作用沿直线运动到b点，已知物体在b点的速度与在a点的速度大小相等，则从a点到b点（）A.物体一定做匀速运动B.恒力F的方向始终与摩擦力的方向相反C.恒力F与摩擦力对物体的总冲量为零D.恒力F与摩擦力对物体所做的总功量为零８．在光滑水平地面上有两个相同的弹性小球Ａ、Ｂ质量均为ｍ，现Ａ球向Ｂ球运动，并发生正碰，已知碰撞过程中机械能守恒，两球压缩最紧时的弹性势能为，则碰前Ａ球的速度不等于（　　　）Ａ.Ｂ.Ｃ.Ｄ. ９．如图3所示，斜面上除了AB段粗糙外，其余部分均是光滑的，小物体与AB段的动摩擦因数处处相等，今使该物体从斜面的顶端由静止开始下滑，经过A点时的速度与经过C点时的速度相等，已知AB＝BC，则下列说法正确的是（）A.物体在AB段与BC段的加速度大小相等B.物体在AB段与BC段的运动时间相等C.重力在这两段中所做的功相等D.物体在AB段与BC段的动量变化相等１０.有一种硬气功表演，表演者平卧于地面，将一大石板置于他的身子上，另一人将重锤举到高出并砸向石板，石板被砸碎，表演者却安然无恙，假设重锤与石板撞击后两者具有相同的速度，表演者在表演时尽量挑选质量较大的石板。对这一现象说法正确的是（　　　）Ａ.重锤在与石板撞击的过程中，重锤与石板的总机械能守恒B.石板的质量越大，石板获得的动量就越小Ｃ.石板的质量越大，石板所受到的打击力就越小Ｄ.石板的质量越大，石板获得的速度就越小二、填空题11.在“验证机械能守恒定律”的实验中，打点计时器所用电源频率为50HZ，当地重力加速度的值为9.80m／s2，测得所用重物的质量为1.00kg。甲、乙、丙三学生分别用同一装置打出三条纸带，量出各纸带上第1、2两点间的距离分别为0.12cm，0.19cm和0.25cm，可见操作上有错误的是，错误操作：_______。若按实验要求正确地选出纸带进行测量，量得连续三点A，B，C到第一个点的距离如图所示(相邻计数点时间间隔为0.02s)，那么(1)纸带的_____端与重物相连；(2)打点计时器打下计数点B时，物体的速度vB=_______；(3)从起点O到打下计数点B的过程中重力势能减少量是ΔEP=_____，此过程中物体动能的增加量是ΔEK_______(取g=9.8m／s2)；(4)通过计算，数值上ΔEP______ΔEK(填“>、=、<”)，这是因为_____；(5)实验的结轮是________。12.如图5所示气垫是常用的一种实验仪器，它是利用气泵使带孔的导轨与滑块之间形成气垫，使滑块悬浮在轨道上，滑块在轨道上的运动可视为没有摩擦。我们可以用带竖直挡板Ｃ和Ｄ的气垫轨道以及滑块Ａ和Ｂ来验证动量守恒定律，实验装置如图所示（弹簧的长度忽略不计），采用的实验步骤如下：ａ.调整气垫轨道，使导轨处于水平；b.在Ａ和Ｂ间放入一个被压缩的轻弹簧，用电动卡销锁定，静止放置在气垫导轨上；ｃ.按下电钮放开卡销，同时使分别记录滑块Ａ、Ｂ运动时间的计数器开始工作，当Ａ、Ｂ滑块分别碰撞Ｃ、Ｄ挡板时停止计时，记滑块Ａ、Ｂ分别到达挡板Ｃ、Ｄ的运动时间和；ｄ.用刻度尺测出滑块Ａ的左端至Ｃ挡板的距离、滑块Ｂ的右端到Ｄ挡板的距离。（１）试验中还应测量的物理量是　　　　　；（２）利用上述过程测量的实验数据，验证动量守恒定律的表达式是　　　　　；（３）利用上述实验数据导出的被压缩弹簧的弹性势能的表达式是.三、计算题13．如图6所示，长度为Ｌ＝1ｍ的细绳一端固定于Ｏ点，另一端竖直悬吊一个50ｋｇ的小球，若用水平恒力Ｆ＝500Ｎ拉小球，当悬绳拉到竖直方向成300 角时，撤去拉力Ｆ。（ｇ＝１０）求：（１）小球摆回到最低点时，绳的；拉力是多少？（２）小球能摆到多大高度？14.美国通共汽车公司推出的“氨气１型”汽车是一种使用燃料电池驱动的电动汽车，它利用的是氢气和氧气直接反应，其生成物只有水，因此对环境没有污染，该车质量为1.5ｔ，额定输出机械功率为60ｋｗ，当它以额定功率行驶时的最高速度为120ｋｍ／ｈ.求：（１）该汽车以上述最高速度行驶时所受的阻力是车所受重力的多少倍？（２）若行驶中汽车所受重力与速度大小无关，该车行驶时输出机械功率保持额定功率不变，当速度增大到60ｋｍ／ｈ时瞬时加速度是多少？15．质量Ｍ＝0.6ｋｇ的平板小车静止在光滑水面上，如图7所示，当ｔ＝０时，两个质量都为ｍ＝0.2ｋｇ的小物体Ａ和Ｂ，分别从小车的左端和右端以水平速度和同时冲上小车，当它们相对于小车停止滑动时，没有相碰。已知Ａ、Ｂ两物体与车面的动摩擦因数都是0.20，取ｇ＝10，求：（１）Ａ、Ｂ两物体在车上都停止滑动时车的速度；（２）车的长度至少是多少？16．.如图8所示，Ａ、Ｂ两球质量均为ｍ，期间有压缩的轻短弹簧处于锁定状态。弹簧的长度、两球的大小均忽略，整体视为质点，该装置从半径为Ｒ的竖直光滑圆轨道左侧与圆心等高处由静止下滑，滑至最低点时，解除对弹簧的锁定状态之后，Ｂ球恰好能到达轨道最高点，求弹簧处于锁定状态时的弹性势能。17．炮竖直向上发射炮弹.炮弹的质量为M=6.0kg（内含炸药的质量可以忽略不计），射出的初速度v0=60m/s.当炮弹到达最高点时爆炸分裂为沿水平方向运动的两片，其中一片质量为m=4.0kg.现要求这一片不能落到以发射点为圆心、以R=600m为半径的圆周范围内，则刚爆炸完时两弹片的总动能至少多大？（g=10m/s2，忽略空气阻力） 参考答案1．B　２．Ａ　3．B4．B5．C6．B7．D8．ABD．ABC10．D11．丙错误操作是先放开纸带后接通电源。(1)左；(2)(3)(4)ΔEP>ΔEK这是因为实验中有阻力。(5)在实验误差允许围内，机械能守恒12．（１）用天平分别测出滑块Ａ、Ｂ的质量、（２）（３）由能量守恒知13．解：（１）设小球摆回到最低点的速度为ｖ，绳的拉力为Ｔ，从Ｆ开始作用到小球返回到最低点的过程中，运用动能定理有，在最低点根据牛顿第二定律有，（２）设小球摆到的最高点与最低点相差高度为Ｈ，对全过程运用动能定理有，。14．解：（１）汽车以正常情况下的最高速度行驶时　的功率是额定功率这时汽车做的匀速运动，牵引力和阻力大小相等，即Ｆ＝Ｆ１设阻力是重力的ｋ倍，Ｆ１＝ｋｍｇ代入数据得ｋ＝0.12（２）设汽车以额定功率行驶速度为时的牵引力为，则，而阻力大小仍为由代入数据可得ａ＝1.2。15．解：（１）设物体Ａ、Ｂ相对于车停止滑动时，车速为v，根据动量守恒定律方向向右（２）设物体Ａ、Ｂ在车上相对于车滑动的距离分别为，车长为Ｌ，由功能关系可知Ｌ至少为6.8ｍ16．解：设Ａ、Ｂ系统滑到圆轨道最低点时锁定为 ，解除弹簧锁定后Ａ、Ｂ的速度分别为，Ｂ到轨道最高点的速度为Ｖ，则有解得：