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1、初中数学教师解题比赛试卷1•学校6名教师和234名学生集体外出活动，准备租用45座大车或30座小车.若租用1辆大车2辆小车共需租车费1000元；若租用2辆大车1辆小车共需租车费1100元.（1）求大、小车每辆的租车费各是多少元？（2）若每辆车上至少要有一名教师，且总组成费用不超过2300元，求最省钱的租车方案.•••••（本题12分）解：（1）设租用一辆大车的租车费是x元，租用一辆小车的租车费是y元，依题意，得：煜円000,解乙得：2x+y=1100x=400y=300答：大、小车每辆的租车费分别是400元和300元.6分（2）240名师生都有座位，租车总辆数M6；每辆车上至少要有一
2、名教师，租车总辆数W6.故租车总数事故6辆，设大车辆数是x辆，则租小车（6-x）辆.得：解之，得：4WxW5.45x+30(6-x)>240400x+300(6-x)<2300・・・x是正整数・・・x二4或5于是又两种租车方案，方案1：大车4辆小车2辆总租车费用2200元，方案2：大车5辆小车1辆总租车费用2300元，可见最省钱的是方案1.6分2.对于任意给定的一个长与宽分别为a,b（a>b）的矩形C,请设计另一个矩形，使得它的周长和面积恰好都是矩形C的周长和面积的2倍.（本题12分）1.假设另一个矩形的长与宽分别为兀』(x>y)，根据题意应有x+y=2(a+b)、,9‘4分[x
3、y=lab将攀代入兀+2@+b),整理得x2-2(a+b)x+2ab=0f4分解这个方程得x=d+b+J/+Z?2,y=a+b-Ja1+X,4分3.（1）已知：如图①，RtAABCZACB=90°,AC=BC,点D、E在斜边AB±,且ZDCE=45°.求证：线段DE、AD、EB总能构成一个直角三角形；（2）已知：如图②，等边三角形ABC中，点D、E在边AB±，且ZDCE=30°,请你找出一个条件，使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数；（3）在（1）的条件下，如果AB=10,求BDAE的值.（本题12分）AZA=ZB=45°.AC=BC,以CE为一
4、边作ZECF=ZECB,在CF±B截取CF=CB,贝ijCF=CB=AC.连接DF、EF,则厶CFE^ACBE.AFE=BE,Z1=ZB=45°.TZDCE=ZECF+ZDCF=45°,•*.ZDCA+ZECB=45°.•IZDCF=ZDCA.JADCF^ADCAAZ2=ZA=45°,DF=AD.•••ZDFE=Z2+Z1=90°.••-ADFE是直角三角形.又AD=DF,EB=EF,A线段DE、AD、EB总能构成一个直角三角形.4分(2)当AD=BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形.如图②，与(1)类似，以CE为一边，作ZECF=ZECB,在CF上截取CF=CB,可得A
5、CFE^ACBE,△DCFMDCA.AAD=DF,EF=BE・ZDFE=Z1+Z2=ZA+ZB=120°.若使ADFE为等腰三角形，只需DF=EF,即AD=BE.・••当AD=BE吋，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形.4分且顶角ZDFE为120°.(3)证明：如图①，VZACE=ZACD+ZDCE,ZCDB=ZACD+ZA・XZDCE=ZA=45°,AZACE=ZCDB.又ZA=ZB,AAACE^ABDC:.BD・AE=AC・BCVRtAACB中，rtlAC2+BC2=AB2=102,^-AC2=BC2=50•:BDAE=ACBC=AC2=50.2.“有的母牛比一般人具有更健
6、全的头脑S—位农民说道瞧！有一天我的那头老家伙，有着斑纹的母牛正站在距离桥梁中心点5米远的地方，平静地注视着河水发呆，突然，它发现一列特别快车以每小时90公里的速度向它奔驶而來，此时，火车已经到达靠近母牛一端的桥头附近，只有两座桥长的距离了•”“母牛毫不犹豫，马上不失吋机地迎着飞奔而来的火车作了一次猛烈冲刺，总算得救了•此时母牛恰好离开了桥，距离火车只剩下1米了.如果母牛按照人的木能，以同样的速度离开火车逃跑，那么母牛的屁股将有0.25米耍留在桥上！”试问：桥梁的长度是多少？母牛的狂奔速度是多少？（本题12分）解：设桥梁的长度为x米，则母牛距离桥的一端为丄x-5,而另一端为丄兀+5。
7、火车22据较近的桥头为2兀。2分由题意，可知火车行驶路程母牛奔跑路程迎着火车2x~l兰-52离开火车(1)2兀+x—4丿XuI一+5——214丿4分/、P-5+U丿（24丿因此，母牛跑完1、的距禺时，火午跑完（2兀—1）+3x—,而这两4丿(OX——14丿X——<4丿和5个距离分别等于由此得知，火车的速度为母牛速度的5倍。利用这一线索我们可以列出方程:2x-l=5
8、--5于是求出桥长兀二48米，母牛的速度为每小时18公里。5•己知：〃是正整数，是整数，
