专题53直线与双曲线的位置关系-2018年高考数学备考

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1、■>1已知椭圆。的方程为03'双彫壯的左、右焦点分别是°的左、右顶点，而&的左、右顶点分别是G的左、右焦点，0为坐标原点.（1）求双曲线C的方程；（2）若直线厶y=kx+41与双曲线Q恒有两个不同的交点力和〃，且0B>2,求斤的取值范围.【解析】试题分析：（1）由两曲线长轴与焦点关系，求出双曲线G的方程。（2）设水ep）,B（X2,%）,直线与双曲线组方程组，得到韦达定理关系，注意判别式控制参数k范围。把向量关系Q4・O3>2,坐标化即山屍+f必>2,代入韦达可求。试题解析:（1）设双曲线G的方

2、程为亠—%=1（“A0上A0）ab则孑=4一1=3〉c=4,再由/+長=u為得長=1〉故双曲线G的方程为y-y=l.⑵将r+d代入专-Z，得（1—3卅）#—6血滋一9=0.由直线/与双曲线&交于不同的两点,1一3宀0△=36（1-疋）>0・・・女1且aM-.①3设〃（山，/］）,B（X2,『2），则十=止1—3/XX2=-91一3疋2十+1皿+血心卄）+e着召3以+7-3k2+9又..05〉2,即心2,•••时>2>2,即乔〉。,解得-

3、4兀二0的圆心为许，直线/过点坊（2,0）且不与无轴、y轴垂直，且与圆斥于C,D两点，过场作百C的平行线交直线百D于点E.（1）证明E片-£鬥为定值，并写出点E的轨迹方程；（2）设点E的轨迹为曲线「，直线/交「于M,N两点，过笃且与/垂直的直线与圆好交于P,Q两点，求ed=ef2,进而得PQM与△PQN的面积Z和的取值范围.【答案】（1）X2-2=l(y0).(2)(12,+8)【解析】试题分析：（1）先证明zef2d=Z.M码-明冃E耳困纠=2<耳马，由双曲线定义知轨迹是双曲线，从而可得方程

4、：（2）联立直线/与云-才=1双曲线『的方程｛3~，消去兀得（3血2—1）+12砂+9=0,根据弦长公式、点到直线距离公式及三兀=卿+2角形面积公式可得三角形面积之和成关于加的函数，利用单调心求解即可.试题解析：（1）圆/<:（%+2）2+/=4,圆心许（一2,0）,半径厂=2,如图所示.因为F[CHEF1,所以上耳CD=ZE码D•又因为耳D=耳C,所以纠CD=纠DC,所以上阴D=Z^DC,Stl又因^ZF1DC=ZEDF1,所以ZEF^D=Z.故ED=EF“可得码—码制码£D=2<爭丄根据双曲

5、线的定义，可知点E的轨迹是以百，坨为焦点的双曲线（顶点除外）,易得点E的轨迹方程为x2-^-=l（y/O）.(2)「：0=1（円）・依题意可设/:兀=砒+2（加H0）,M（X），必）,N（兀2』2）‘由于PQ丄几设lPQ:y=-m(x-2).圆心百（-2,0）到直线PQ的距离cl=-77?(-2-2)Vl+m21+nV所以PQ=2ylr2-d2Vl+m2又因为d<2,解得0<"<亍联立直线/与双曲线r的方程｛3消去兀得（3加2一1）+12加），+9二0,12m93m2-l，｝l>2_3m2-l

6、所以陋V=J1+加庇一卩11=Jl+沪J(m+^)1一4”巾=记APQM3APQN的面积分别为蜀=囲,则s1+s2=^mn\pq=12J/+17i-W又因为0<莎<丄，所以&+,丘（12,+8）,所以S,+52的取值范围为（12,+8）.3.已知双曲线C：二一匚=l（d>0,b>0）的一条渐近线为y=V3x,右焦点F到直线x=—的距离为0lrc3■2（1）求双曲线C的方程；（2）斜率为1且在y轴上的截距大于0的直线/与曲线C相交于3、D两点,已知A（1,O）,若DFBF=l证明：过A、B、

7、D三点的圆与兀轴相切.【答案】（1）兀2一丄1=1；（2）证明见解析.3【解析】试题分析：（1）设双曲线的方程，若焦点明确，设双曲线的标准方程，结合条件用待定系数法求出ab2的值，若不明确，需分焦点在兀轴和y轴上两种情况讨论；（2）解决直线和双曲线的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与双曲线的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式△:计算一元二次

8、方程根.第四步：写出根与系数的关系.第五步：根据题设条件求解问题中结论.rZ2试题解析：(1)依题意有-=V3,c-—=-ac2・.•a2+b2=c2/.c=2a・°・d=1,c=2Z?2=3・・・曲线C的方程为x2-^-=l（2）设直线J的方程为卩=兀+加，则班耳西+胡），的中点为M2/—IrHx—m2—3=0y=x+m卫y2得x2丄=13m2+32TDFBF=1,即(2-x1)(2-x2)+(xi+m)(x2+加)=1/.m=0(舍)或m=2・・・西+无2=2,x,x2M点的横坐标为迸理=1