2014高考数学专题——直线与双曲线的位置关系

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1、多抽出一分钟时间学习，让你的人生更加精彩！2021-8-5直线和双曲线的位置关系从近两年的高考试题来看,与椭圆相比,高考对双曲线的要求较低,重点考查双曲线的定义、标准方程、图形及几何性质等基础知识,题型大多为选择题、填空题,考查双曲线的定义、几何性质、基本运算能力,有时也会出现在解答题(如2011年高考江西卷理科第20题),难度为中等偏高,考查灵活运用数形结合、函数方程的思想、等价转化的思想,考查逻辑推理能力、分析问题解决问题的能力.一、要点精讲1．直线和双曲线的位置关系有三种：相交、相切、相离.设双曲线方程，直线Ax+

2、By+C=0,将直线方程与双曲线方程联立,消去y得到关于x的方程mx2+nx+p=0,(1)若m≠0,当Δ>0时,直线与双曲线有两个交点；当Δ=0时,直线与双曲线只有一个公共点；当Δ<0时,直线与双曲线无公共点.(2)若m=0,则直线与双曲线只有一个公共点,此时直线与双曲线的渐近线平行.2．弦长公式：设直线交双曲线于，，则，或．二、基础自测1．经过点且与双曲线仅有一个公共点的直线有（）(A)4条(B)3条(C)2条(D)1条2．直线y=kx与双曲线不可能（）（A）相交（B）只有一个交点（C）相离（D）有两个公共点3．过双

3、曲线的一个焦点且与双曲线的实轴垂直的弦叫做双曲线的通径，则双曲线的通径长是(A)(B)(C)(D)4．若一直线平行于双曲线的一条渐近线，则与双曲线的公共点个数为．解：与双曲线渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个公共点，应注意直线与双曲线不是相切[8多抽出一分钟时间学习，让你的人生更加精彩！2021-8-55．经过双曲线的右焦点且斜率为2的直线被双曲线截得的线段的长是．6．直线在双曲线上截得的弦长为4，且的斜率为2，求直线的方程．三、典例精析题型一：直线与双曲线的位置关系1．过双曲线2x2－y2－2＝0的右焦点作直线l交双

4、曲线于A、B两点，若AB＝4，则这样的直线有()A．4条B．3条C．2条D．1条解：过双曲线右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若l⊥x轴，则AB＝4；若l经过顶点，此时AB＝2，因此当l与双曲线两支各交于一点A、B时，满足AB＝4的直线有两条，故选B.2、若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是()A.B.C.D.解：直线与双曲线右支相切时，k＝－，直线y＝kx＋2过定点(0,2)，当k＝－1时，直线与双曲线渐近线平行，顺时针旋转直线y＝－x＋2时，直线与双曲线右支有两个交点，∴－

5、

6、得，∴即得，∴，即得到。点评：直线与圆锥曲线的位置关系经常和圆锥曲线的几何要素建立起对应关系，取值范围往往与判别式的取值建立联系。题型二：求双曲线方程6.已知焦点在x轴上的双曲线上一点，到双曲线两个焦点的距离分别为4和8，直线被双曲线截得的弦长为，求此双曲线的标准方程．[8多抽出一分钟时间学习，让你的人生更加精彩！2021-8-57.双曲线的中心为原点，焦点在轴上，两条渐近线分别为，经过右焦点垂直于的直线分别交于两点．已知成等差数列，且与同向．（Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．

7、解：（Ⅰ）设，，由勾股定理可得：得：，，由倍角公式，解得,则离心率．（Ⅱ）过直线方程为,与双曲线方程联立，将，代入，化简有将数值代入，有,解得故所求的双曲线方程为。题型三：直线与双曲线的相交弦问题8．求过定点的直线被双曲线截得的弦中点轨迹方程。9.双曲线方程为.问：以定点B(1,1)为中点的弦存在吗？若存在，求出其所在直线的方程；若不存在，请说明理由．[8多抽出一分钟时间学习，让你的人生更加精彩！2021-8-5解圆锥曲线与直线相交所得的中点弦问题，一般不求直线与圆锥曲线的交点坐标，而是利用根与系数的关系或“平方差法”求

8、解．此时，若已知点在双曲线的内部，则中点弦一定存在，所求出的直线可不检验，若已知点在双曲线的外部，中点弦可能存在，也可能不存在，因而对所求直线必须进行检验，以免增解，若用待定系数法时，只需求出k值对判别式△>0进行验证即可．10．(2012浙江)如图，F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a，b＞0)的左、右焦点，B是虚