时间序列剖析与建模简介

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1、第五章时间序列分析与建模简介时间序列建模（Modellingviatimeseries）。时间序列分析与建模是数理统计的重要分支，其主要学术贡献人是Box和Jenkins。本章扼要介绍吴宪民和Pandit的工作，仅要求一般了解当前时间序列分析与建模的一些主要结果。参考书：“时间序列及系统分析与应用（美）吴宪民，机械工业出版社（1988）TP13/66o引言根据对系统观测得出的按照时间顺序排列的数据，通过曲线拟合和参数估计或者谱分析，建立数学模型的理论与方法，理论基础是数理统计。有时域和频域两类建模方法，这里概括介绍时域方法，即基于曲线拟合与参数估计（如最小二

2、乘法）的方法。常用于经济系统建模（如市场预测、经济规划）、气象与水文预报、环境与地震信号处理和天文等学科的信号处理等等。§5—1ARMA模型分析一、模型类把具有相关性的观测数据组成的时间序列｛xk｝视为以正态同分布白噪声序列｛比｝为输入的动态系统的输出。用差分模型ARMA(n,m)为(z_1)xk=(z_1)ak其中：(Z~1)=1—1Z"1—n(z-1)=1-1Z-1-...-mz-m离散传函G(z")=为与参考书符号一致，以下用B表示时间后移算子即：BXk=Xk-1Blipz",B2即R2…(B)=0的根为系统的极点，若全部落在单位园内则系统稳定;(B)

3、=0的根为系统的零点，若全部在单位园内则系统逆稳定。二、关于格林函数和时间序列的稳定性1.格林函数Gi格林函数Gj用以把人表示成印及印既往值的线性组合。式（5亠3）00xt=工GjCi—j.7=0Gi可以由下式用长除法求得:xt—Clt姬）例1.AR（1）:xt-4）iXt-i=at0（B）（KB）oo（1+0]B+0,32+・・・）％二为0g-jJ=o（显示）例2.ARMA（1,1）:xt-（

4、）iXt-i=at-OiatG°=1；Gj=（（

5、）i-01）（I）?'1,j>1（显示）例3・ARMA（2,1）（1-（

6、）iB—（

7、）2B2）x1=（a（-B）

8、at得出：Go=1G1=0oG（）-0iG2=（j）iGi+（

9、）2GoGj=（

10、）iGj-i+（

11、）2Gj-2（j>2）Gj为满足方程(1-如B_如B2)Gj=0的解,称为隐式表达式。该结论可推广到ARMA(n,m)模型。2-格林函数与系统稳定性门j—时：Gj—有界，则系统稳定；GjT衰减，则系统渐进稳定；Gj发散，则系统不稳定。例：AR(1)：Gj=(J)丿当<1时，GjT衰减，渐进稳定；当=1时，勺=押=1,有界，则系统稳定；当>1时，Gj发散，不稳定。例：ARMA(2,1)打__1_加边_1一加九1和九2和为特征方程的根，有九［+入2=［和入1九2当

12、b且x2V1时，ARMA(2,1)渐进稳定;入2V1或入1V1且九2=1时,ARMA(2,1)彳当九1此得出ARM/不稳定。由012ARMA(2,m)的稳定域三、逆函数与逆稳定性定义:即：逆函数lj表示xt的既往值对当前值的影响，与格林函数Gj表示既往的％值对xt的影响正相反。00Xt=XIjxt-j+at戶1co00-Xt~工IjX—j-工j)X—j；J=1戶0(/o=-D或：at=(1—11B—12B°—…)xt系统逆稳定的条件是0(B)的根v<1(落在单位园内)。合理的模型不仅要求是稳定的，也要求是逆稳定的，因为如果V>1,即意味着过时愈久的Xt的老数

13、据对Xt的现在值影响愈大，这显然是不合理的。atZb評〃格林函数Xt逆函数Xtat5.自协方差函数与偏自相关函数及其截尾性(略)§5—2时间序列建模及其应用一、关于吴宪民andPandit的建模策略简介ARMA(n,m)模型，当n和m设定后，可由非线心、非线性最小二乘法估计参数，并计算出残差平方总和(R.S.S.)o设定不同的n和m值，用F检验比较R.S.S.,确定合理的n、m值。穷举法(最笨的建模策略)：高阶模型要做很多次搜索，计算量大。吴宪民一Pandit建模策略目的是减少建模的搜索次数。策略可概括为：1°.按照ARMA(2n,2n-1)拟合模型，即当n

14、n+1时，模型增加2阶，理由是过程的基点往往是成对的。2°.检查ARMA(2n,2n-1)模型的高阶项参数2门和2n-i的绝对值是否很小，它们的置信区间是否包含零在内？若是，则进一步拟合下降一阶后的模型ARMA(2n-1,2n-2),并用F检验检查。3°.探索进一步降低MA的阶次的可能性，即设ARMA(2n-1,m),m<2n-1,用F检验确定。补充：关于参数估计误弟的置信区间假定参数估计符合正态分布N(0,2)则估计值的置信区间(95%置信度)为：j1.96j参数-的估计误差协方差阵为：Var0,Cor・E[(0-0)(0-0)T]=q2P=a2((

15、)T

16、(

17、))_1=Cor・・・・Var^nj的置信区间为