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1、二次函数知识归纳与总结 二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念 一般地,如果特yax2bxc(a,b,c是常数,a0),特别注意那么y叫做x的二次函数。 a不为零 yax2bxc(a,b,c是常数,a0)叫做二次函数的一般式。 2、二次函数的图像 二次函数的图像是一条关于xb对称的曲线,这条曲线叫抛物线。2a抛物线的主要特征: ①有开口方向;②有对称轴;③有顶点。 3、二次函数图像的画法五点法: 先根据函数解析式,求出顶点坐标,在平面直角坐标系中描出顶点M,并用虚线画出对称轴 求抛物线ya
2、xbxc与坐标轴的交点: 当抛物线与x轴有两个交点时,描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C,再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来,并向上或向下延伸,就得到二次函数的图像。 当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时,描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像,可再描出一对对称点A、B,然后顺次连接五点,画出二次函数的图像。 2二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式:口诀-----一般两根三顶点一般 一般式:yax
3、bxc(a,b,c是常数,a0) 2两根当抛物线yaxbxc与x轴有交点时,即对应二次好方程 2ax2bxc0有实根x1和x2存在时,根据二次三项式的分解因式 ax2bxca(xx1)(xx2),二次函数yax2bxc可转化为两根式 ya(xx1)(xx2)。如果没有交点,则不能这样表示。 a的绝对值越大,抛物线的开口越小。 三顶点顶点式:ya(xh)2k(a,h,k是常数,a0) 二次函数的最值 如果自变量的取值范围是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值,即当 b4acb2x时,y最值。
4、 2a4a如果自变量的取值范围是x1xx2,那么,首先要看b是否在自变量取值范围2ab4acb2时,y最值;若不在此范围内,则x1xx2内,若在此范围内,则当x=2a4a需要考虑函数在x1xx2范围内的增减性,如果在此范围内,y随x的增大而增大,则当 2xx2时,y最大ax2bx2c,当xx1时,y最小ax12bx1c;如果在此范围内,2y随x的增大而减小,则当xx1时,y最大ax1bx1c,当xx2时,2y最小ax2bx2c。 二次函数的性质 1、二次函数的性质二次函数函数a>0 y 图像 0
5、 xyax2bxc(a,b,c是常数,a0)a的增大而减小;在对称轴的右侧,即当x>b时,y随x的增大而增大,简记左减2ab时,y随x的增大而减小,简记左2a右增;抛物线有最低点,当x=增右减;bb时,y有最小抛物线有最高点,当x=时,y有最2a2a大值,y最大值值,y最小值 4acb24a4acb24a2、二次函数yax2bxc(a,b,c是常数,a0)中,a、b、c的含义: a表示开口方向:a>0时,抛物线开口向上 a0时,图像与x轴有两个交点;当=0时,图像与x轴有一个交点;当0)【或向下(k0)【或
6、左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或下(k0)【或左(h0 y 图像 0 xyax2bxc(a,b,c是常数,a0)a的增大而减小;在对称轴的右侧,即当x>b时,y随x的增大而增大,简记左减2ab时,y随x的增大而减小,简记左2a右增;抛物线有最低点,当x=增右减;bb时,y有最小抛物线有最高点,当x=时,y有最2a2a大值,y最大值值,y最小值 4acb24a4acb24a2、二次函数yax2bxc(a,b,c是常数,a0)中,a、b、c的含义: a表示开口方向:a>0时,抛物线开口向上 a
7、0时,图像与x轴有两个交点;当=0时,图像与x轴有一个交点;当0)【或向下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或下(k0)【或左(h<0)】平移
8、k
9、个单位y=a(x-h)2y=a(x-h)2+k ③平移规律 在原有函数的基础上“h值正右移,负左移;k值正上移,负下移”. 函数平移图像大致位置规律 特别记忆--同左上加异右下减(必须理解 记忆) 说明①函数中ab值同号,图像顶点在y轴左侧同左,ab值异号,图像顶点必在Y轴右侧异右 ②向左向上移动为加左上加,向右向下移动为减右下减 3
10、、直线斜率: y2y1 b为直线在y轴上的截距4、直线方程: ktanx2x14、①两点直线上两点确定的直线的两点式方程,简称两式: yy1kxb(tan)xby2y1x(xx1)此公式有多种变形牢记x2x1②点斜yy1kx(xx1) ③斜截直线的斜截式方程,简称斜截式:y=kx+b(k≠0) ④截距直线在x轴和y轴上的截距确定的直线的截距式方程,简称截距式: