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1、二次函数的知识点归纳总结二次函数定义 一般地，我们把形如y=ax^2+bx+c（其中a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。x为自变量，y为因变量。等号右边自变量的最高次数是2。注意：“变量”不同于“未知数”，不能说“二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数”。“未知数”只是一个数（具体值未知，但是只取一个值），“变量”可在一定范围内任意取值。在方程中适用“未知数”的概念（函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数
2、或函数——也会遇到特殊情况），但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。从函数的定义也可看出二者的差别.如同函数不等于函数关系。二次函数的几种表达式一般式 y=ax^2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为[-b/2a,(4ac-b^2)/4a] 把三个点代入式子得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。顶点式 y=a(x-h)^2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为（h,k），对称轴为x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax^2的图像相同，有时题目会指出让你用
3、配方法把一般式化成顶点式交点式 y=a(x-x)(x-x)(a≠0)[仅限于与x轴即y=0有交点A（x，0）和B（x，0）的抛物线，即b^2-4ac≥0].已知抛物线与x轴即y=0有交点A（x，0）和B（x，0）,我们可设y=a(x-x)(x-x),然后把第三点代入x、y中便可求出a。由一般式变为交点式的步骤： X1+x2=-b/ax1·x2=c/a y=ax^2+bx+c =a（x^2+b/ax+c/a） =a[﹙x^2-(x+x2)x+x1x2.=a(x-x1)(x-x2) 重要概念：a，b，c
4、为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向。a>0时，开口方向向上；a<0时，开口方向向下。a的绝对值可以决定开口大小。a的绝对值越大开口就越小，a的绝对值越小开口就越大。 二次函数图像与X轴交点的情况 当=b^2-4ac>0时，函数图像与x轴有两个交点。 当=b^2-4ac=0时，函数图像与x轴只有一个交点。 当=b^2-4ac<0时，函数图像与x轴没有交点。二次函数图像 在平面直角坐标系中作出二次函数y=ax^2+bx+c的图像，可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。如果所画图形准确无误，那
5、么二次函数图像将是由一般式平移得到的。 注意：草图要有: 1.本身图像，旁边注明函数。 2.画出对称轴，并注明直线X=什么（X=-b/2a） 3.与X轴交点坐标（x1,y1);(x2,y2)，与Y轴交点坐标(0,c)，顶点坐标(-b/2a,(4ac-b^2/4a).轴对称 二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a 对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。 特别地，当b=0时，二次函数图像的对称轴是y轴（即直线x=0）。 a,b同号，对称轴在y轴左侧 b=0,对称轴是y
6、轴 a,b异号，对称轴在y轴右侧顶点 二次函数图像有一个顶点P，坐标为P(h,k) 当h=0时，P在y轴上；当k=0时，P在x轴上。即可表示为顶点式y=a(x-h)^2+k。 h=-b/2a，k=(4ac-b^2)/4a。开口 二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。 当a>0时，二次函数图像向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。
7、a
8、越大，则二次函数图像的开口越小。决定对称轴位置的因素 一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。 当a>0,与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴
9、左；因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是-b/2a<0,所以b/2a要大于0，所以a、b要同号 当a>0,与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是-b/2a>0,所以b/2a要小于0，所以a、b要异号 可简单记忆为同左异右，即当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右。 事实上，b有其自身的几何意义：二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。决定与
10、y轴交点的因素 常数项c决定二次函数图像与y轴交点。 二次函数图像与y轴交于（0,C） 注意：顶点坐标为（h,k)，与y轴交于（0,C)。与x轴交点个数 a<0;k>0或a>0;k<0时，二次函数图像与x轴有2个交点。 k=0时，二次函数图像与x轴只有1个交点。 a<0;k<0或a>0,k>0时，二次函数图像与X轴无交点。 当a>0时，函数在x=h处取得最小值ymin=k
