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1、二次函数的知识点归纳总结二次函数定义 一般地,我们把形如y=ax^2+bx+c(其中a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数,其中a称为二次项系数,b为一次项系数,c为常数项。x为自变量,y为因变量。等号右边自变量的最高次数是2。注意:“变量”不同于“未知数”,不能说“二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数”。“未知数”只是一个数(具体值未知,但是只取一个值),“变量”可在一定范围内任意取值。在方程中适用“未知数”的概念(函数方程、微分方程中是未知函数,但不论是未知数还是未知函数,一般都表示一个数
2、或函数——也会遇到特殊情况),但是函数中的字母表示的是变量,意义已经有所不同。从函数的定义也可看出二者的差别.如同函数不等于函数关系。二次函数的几种表达式一般式 y=ax^2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数),顶点坐标为[-b/2a,(4ac-b^2)/4a] 把三个点代入式子得出一个三元一次方程组,就能解出a、b、c的值。顶点式 y=a(x-h)^2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为(h,k),对称轴为x=h,顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax^2的图像相同,有时题目会指出让你用
3、配方法把一般式化成顶点式交点式 y=a(x-x)(x-x)(a≠0)[仅限于与x轴即y=0有交点A(x,0)和B(x,0)的抛物线,即b^2-4ac≥0].已知抛物线与x轴即y=0有交点A(x,0)和B(x,0),我们可设y=a(x-x)(x-x),然后把第三点代入x、y中便可求出a。由一般式变为交点式的步骤: X1+x2=-b/ax1·x2=c/a y=ax^2+bx+c =a(x^2+b/ax+c/a) =a[﹙x^2-(x+x2)x+x1x2.=a(x-x1)(x-x2) 重要概念:a,b,c
4、为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向。a>0时,开口方向向上;a<0时,开口方向向下。a的绝对值可以决定开口大小。a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大。 二次函数图像与X轴交点的情况 当=b^2-4ac>0时,函数图像与x轴有两个交点。 当=b^2-4ac=0时,函数图像与x轴只有一个交点。 当=b^2-4ac<0时,函数图像与x轴没有交点。二次函数图像 在平面直角坐标系中作出二次函数y=ax^2+bx+c的图像,可以看出,二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。如果所画图形准确无误,那
5、么二次函数图像将是由一般式平移得到的。 注意:草图要有: 1.本身图像,旁边注明函数。 2.画出对称轴,并注明直线X=什么(X=-b/2a) 3.与X轴交点坐标(x1,y1);(x2,y2),与Y轴交点坐标(0,c),顶点坐标(-b/2a,(4ac-b^2/4a).轴对称 二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a 对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。 特别地,当b=0时,二次函数图像的对称轴是y轴(即直线x=0)。 a,b同号,对称轴在y轴左侧 b=0,对称轴是y
6、轴 a,b异号,对称轴在y轴右侧顶点 二次函数图像有一个顶点P,坐标为P(h,k) 当h=0时,P在y轴上;当k=0时,P在x轴上。即可表示为顶点式y=a(x-h)^2+k。 h=-b/2a,k=(4ac-b^2)/4a。开口 二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。 当a>0时,二次函数图像向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。
7、a
8、越大,则二次函数图像的开口越小。决定对称轴位置的因素 一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。 当a>0,与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴
9、左;因为对称轴在左边则对称轴小于0,也就是-b/2a<0,所以b/2a要大于0,所以a、b要同号 当a>0,与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0,也就是-b/2a>0,所以b/2a要小于0,所以a、b要异号 可简单记忆为同左异右,即当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。 事实上,b有其自身的几何意义:二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式(一次函数)的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。决定与
10、y轴交点的因素 常数项c决定二次函数图像与y轴交点。 二次函数图像与y轴交于(0,C) 注意:顶点坐标为(h,k),与y轴交于(0,C)。与x轴交点个数 a<0;k>0或a>0;k<0时,二次函数图像与x轴有2个交点。 k=0时,二次函数图像与x轴只有1个交点。 a<0;k<0或a>0,k>0时,二次函数图像与X轴无交点。 当a>0时,函数在x=h处取得最小值ymin=k