《高等数学基础》1-2章讲义

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1、第1章函数一、理解函数的概念；主要内容：集合、函数的概念、性质、初等函数本章重点：正确理解函数与复合函数的概念，掌握基本初等函数的性质及图象．本章难点：反函数概念，由实际问题建立函数关系式与求分段的复合函数的关系式．掌握函数中符号f()的含义；了解函数的两要素；会求函数的定义域及函数值；会判断两个函数是否相等．两个函数相等的充分必要条件是定义域相等且对应关系相同．【函数定义：】P91.1设D是一个非空的数集,如果有一个对应规则f,使得对每一个x∈D,都能对应与唯一的一个数y,则此对应规则f称为定义在集合D上的一个

2、函数,并把数x与相应的数y之间的对应关系记为：并称x为自变量,y为因变量或函数值,D为定义域。例题1：下列各对函数中，（　）是相同的．例题1：下列各函数对中，（C）中的两个函数相等．A．B．C．D．解：A,D两个选项中的每对函数的定义域都不同，B选项中,虽然定义域相同，但是对应规则不同，而选项C中的函数定义域相等，且对应关系相同，故选项C正确．例题2：设，则　　　　　．解：设，则，得故．例题3：函数，则。解：当时，例题4：函数的定义域是　　　　　．解：对函数的第一项，要求且，即且；对函数的第二项，要求，即．取公共

3、部分，得函数定义域为．例题5：求下列函数的定义域：　　⑴；　　⑵；　　⑶．解：⑴对，要求，即；对，要求且，即且；取公共部分，得函数定义域为．⑵对，要求，即，得函数定义域为．⑶对，要求，即，得函数定义域为例题6：已知函数f(x)的定义域为[0,1]，则f(x+a)的定义域是（）。A.[0，a]B.[-a，0]C.[a，1+a]D.[-a，1-a]解：∵f(x)的定义域为[0,1]，∴f(x+a)的定义域是，所以选项D是正确的。二、了解函数的主要性质，即单调性、奇偶性、有界性和周期性．函数的几种属性：1、有界性：｜f

4、(x)｜≤2、奇偶性：若对任意，有，则称为偶函数，偶函数的图形关于轴对称．若对任意，有，则称为奇函数，奇函数的图形关于原点对称．3、周期性：f(x±T)＝f(x)4、单调性：对于任意的x1、x2∈（a，b）且当x1＜x2时，恒有f(x1)＜f(x2)，则称f(x)单调增加；对于任意的x1、x2∈（a，b）且当x1＜x2时，恒有f(x1)＞f(x2)，则称f(x)单调减少；例题1：设函数的定义域为，则函数的图形关于（D）对称．A，B，C轴，D轴，解：设，则对任意有即是偶函数，故应填：图形关于轴对称．例题2：函数的图

5、形是关于（）对称。A.y=xB.x轴C.y轴D.坐标原点解：所以是偶函数，所以选项C是正确的。例题3：判断下列函数的奇偶性：　　⑴；　　　　⑵；　　　　⑶．解：⑴对任意有可知是奇函数．⑵对任意有可知是奇函数．⑶对任意有可知是偶函数．（11）试证：奇函数与奇函数的和是奇函数；奇函数与奇函数的乘积是偶函数；证明：设和都是奇函数，即对任意有：；令：；；则：即：（12）试证：奇函数与偶函数的乘积是奇函数．证明：设是偶函数，是奇函数，即对任意有；令，则对任意有由此可知是奇函数，证毕．三、熟练掌握基本初等函数的解析表达式、定

6、义域、主要性质和图形．基本初等函数指以下几种类型：（见P19~P23）并指出它在今后学习中的重要性。①常数函数：②幂函数：③指数函数：④对数函数：⑤三角函数：⑥反三角函数：例题1：函数的反函数是（）。A.y=lnx+1B.y=ln(x+1)C.y=lnx-1D.y=ln(x-1)四、了解复合函数、初等函数的概念，会把一个复合函数分解成较简单的函数．【定义：设两个函数，若，那么就是与的复合函数。是中间变量。简单地说：复合函数就是函数的函数】如函数可以分解，，，．分解后的函数前三个都是基本初等函数，而第四个函数是常数

7、函数和幂函数的乘积．例题1：已知，求．解：方法一：设，则，得即，由此得方法二：将看作新的变量，得，同理五、会列简单的应用问题的函数关系式．说明函数在以后学习的作用例题1：圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为，求体积与底半径或高的关系。解：设圆柱体高为h，底半径为r∴又因为圆柱体体积为∴或例题1：某制罐厂要生产一种体积为V的有盖圆柱形容器，问容器的表面积与底半径或高的关系是什么？解：设容器的底半径为r，高为h，则其表面积为因为所以所以或【本章重点内容】函数的概念、函数的定义域和函数值、六类基本初等函数的解析表达式、

8、定义域、主要性质和图形第2章极限与连续主要内容：P451、数列极限的定义，函数极限的定义，函数的左右极限。2.无穷小和无穷大的概念、性质极其运算、无穷小的比较。★3．极限的四则运算、复合运算、等价无穷小代换。★4．极限存在的两个准则与两个重要极限，两个准则：（1）、单调有限准则（P64）：单调有界数列一定有极限（2）、夹逼定理（P61）：（两边夹法则）：重要极限：5．函数