2016数学基础班高等数学讲义

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1、2016考研数学基础班讲义高等数学主讲：方浩Email:haofang@pku.edu.cn新浪微博：@方浩Fellow1高等数学上册（I）经典概念与理论一、函数的基本理论1.函数的几何特性(1)奇偶性：设函数yfx()的定义域为(aa,)(a0),若对任一x(aa,),都有fx()fx(),称fx()为偶函数；若对任一x(aa,),都有f(x)fx(),fx()为奇函数.(2)周期性：对函数yfx(),若存在常数T0,使得对定义域内的每一个xxT,仍在定义域内,且有fxT()fx()称函数yfx()为周期

2、函数,T称为fx()的周期.【注】：考研常见的奇偶函数与周期函数121n常见的奇函数：0,sin,tan,,xxx,arcsin,arctan,xxx22n

3、

4、xx常见的偶函数：Cx,

5、

6、,cos,xx,ee,,常见的周期函数：C,sin,cos,tan,cot,

7、sin

8、,

9、cos

10、xxxxxx(3)有界性：设函数yfx()在一个数集X上有定义,若存在正数M,对于每个xX,都有

11、()

12、fxM成立,则称fx()在X上有界；如果这样M不存在,就称函数fx()在X上无界.(4)单调性：设函数yf(x)在区间I上有定义,若对于I上任意两点

13、x与x且xx时,均有1212fx()1fx()2或fx()1fx()2,则称函数f(x)在区间I上单调增加(或单调减少).如果把上述定义中的“”换成“”称为单调不减,“”换成“”称为单调不增.2.函数的构成方法与常见函数类(1)基本初等函数u幂函数：yx(uR是常数)；1x指数函数：ya(a0且a1)；对数函数：yxlog(a0且a1,特别当ae时,为yxln)；a三角函数：ysin,xycos,xytan,xycot,xysec,xycscx；反三角函数：yarcsin,xyarccos

14、,xyarctan,xyarccotx.(2)复合函数多合一yfu(),ux()yf[()]x在有意义的情况下.gxgxlnfxfx()e(3)初等函数由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合运算构成的,并可以用一个式子表示的函数,称为初等函数.(4)分段函数二、极限的概念与性质1.极限的定义(1)数列极限(N语言)limxA0,N(自然数),使得当nN时,有

15、

16、xA.nnn注：极限存在时称数列是收敛的,极限不存在时称数列是发散的.(2)当x时的函数极限(X

17、语言)lim()fxA0,X0,使得当

18、

19、xX时,有

20、()fxA

21、.x(3)当xx时的函数极限(语言)0lim()fxA0,0,使得当0

22、xx

23、时,有

24、()fxA

25、.0xx0(4)单侧极限在x点的左极限:0lim()fxA0,0,使得当0xx时,有

26、()fxA

27、.0xx0在x点的右极限:02lim()fxA0,0,使得当0xx时,有

28、()fxA

29、.0xx0(5)极限存在的充要条件lim()fxAlim()f

30、xlim()fxAxxxxxx0001x【例】fx()lim,求lim()fx和lim()fx.2nn1xx1x12.极限的性质(1)唯一性在自变量的一个变化过程中,若数列(函数)的极限存在,则此极限唯一.(2)有界性(局部有界性)如果数列收敛,则数列必有界；如果函数极限存在,则函数局部有界.(3)保号性(局部保号性)(4)数列极限与子列极限的关系(5)函数极限与数列极限间的关系【注】：需要考生熟悉一些极限不存在的例子1,nm21)x,极限limx不存在.nn1,nm21n112)limsin

31、,limcos,limsinx,limcosx不存在.x0xx0xxx【例】设x是数列,下列命题中不正确的是()n(A)若limxa,则limxlimxan2nn21nnn(B)若limxlimxa,则limxa2nn21nnnn(C)若limxa,则limxlimxan3nn31nnn(D)若limxlimxa,则limxa3nn31nnnn3三、导数定义及意义1.定义设函数yfx()在点x的某个邻域内有定义,当自变量x在x处取得增量x(点x

32、x000仍在该邻域内)时,相应地函数取得增量yfx(x)fx()如果y与x之比当x000时的极限存在,则称函数yfx在点x处可导,并称这