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《求离心率取值范围方法总结与典型例题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、求离心率取值范围一常见6法在圆锥曲线的诸多性质中，离心率经常渗透在各类题型中。离心率是描述圆锥曲线“扁平程度”或“张口大小”的一个重要数据，在每年的高考中它常与“定义”、“焦点三角形”等联系在一起。因此求离心率的取值范围，综合性强，是解析儿何复习的一个难点。笔者从事髙屮数学教学二十余载，积累了六种求解这类问题的通法，供同仁研讨。一、利用椭圆上一点P(x,y)坐标的取值范围，构造关于a,b,c的不等式22例1若椭圆+=上存在一点P,使ZOA4=90°,其中0为原点，A为椭圆ab的右顶点，求椭圆离心率e的取值范围。解：
2、设P(Xo，yJ为椭圆上一点，则叶1①因为ZOPA=90°,所以以0A为直径的圆经过点P,所以昇-吒+几？=0-②联立①、②消去Vo并整理得x02-(x0-d)(a2-Xq)=0当时，P与A重合，不合题意，舍去a所以心=严2又0YXoYa,所以0Y严2Ya,a-ba-b即a2^2b=2Lj2-c2）得,即又OYeYl,故$的取值范围是7a222二、利用圆锥曲线的焦点和曲线上一点构成的“焦三角形”三边大小关系，构造关于a,b,c不等式例2已知双曲线»0)左、右焦点分别为叫、F2,左准线为/p是双曲线ab'左支上一点，
3、并且
4、P二⑷丹丁，由双曲线第二定义得
5、PFj二加，所以
6、pf2
7、=g
8、PF]
9、.①由又曲线第一定义得
10、PFj-
11、PFl
12、=2a②由①-②得
13、卩耳
14、+
15、〃21&
16、片砌=乙所以
17、PF」=二码卜竿在小帆中0—10—12a2ea①旦+竺工2<7,0—1W—1即又e”1,从而解得0的取值范围是（1,1+屈]。三、利用圆锥曲线的“焦三角形”+余弦定理+均值不等式22例3设椭圆^+^-=l（a>h>0）的两焦点为F】、F2，问当离心率E在什么范围内取值时,aa椭圆上存在点P,使厶垃昭二120°•解：设椭圆的焦距为2C,由椭圆的定
18、义PF^PF2=2a.在厶FxPF2屮，由余眩定理得必对=『确+
19、丹『-2丹;
20、P^
21、cosZ耳昭二府『+『吋+阴1昭卜（阿;
22、+
23、P马I）儿隅
24、网
25、又0YWY1,故0的取值范围是所以4/-4/=码卜+
26、昭「2二/所以3/<4e^->—.a2四、利用圆锥曲线的定义，结合完全平方数（式）非负的属性构造关于a,b,c的不等式例4如图1,已知椭圆长轴长为4,以〉，轴为准线，且左顶点在抛物线y2=x-l±,求椭圆离心率e的取值范围。解：设椭圆的中心为0^,并延长交轴于7,则O1^=a=2>NA=xo.a22一2因为
27、y%=x0-i>0，所以x0>i。所以一/■一丽/
28、一亍3一3所以椭圆离心率e的取值范围为己知椭圆务+寻五、将题中已知不等关系巧妙转化为关于a,b,c的不等式=l(oAb»0)的两焦点为R、F2,斜率为K的直线I过右焦点F2,与椭圆交于A、B,与Y轴交于C,B为CP的屮点，若比
29、<_£_,求椭圆离心率e的取值范闱。解：设F2(C,0),直线ly^k(x-c则c(O厂oQE(彳厂学)，代入椭圆方程得又宀宀几所以汴+亦二2)1og2上2亍5以扌八洁"解得宀耳兰因为能琴，所以上we0°-5w?+44/曰42>1匕匕八
30、］2>/5-解x<—,得：《0Y1,所以SWY1?555六、利用圆锥曲线参数方程设点，结合正余弦函数的有界性，构造关于a,b,c的不等式22例6若椭圆£-+—=1(^^^>>0)上存在一点p，使Z0P^=90°,其屮0为原点，A为椭/b2圆的右顶点，求椭圆离心率e的取值范围。解：设P(acos0»sin0),由Z0A4=90°,6sin06sin0acosffacos^-a解得心=】或当COS&=1^,P与4重合，不合题意，舍去。£因此要使①有解，需「YpY】,即匚兰Y1,解得亠舟.c2a2又OYeYl,故e的取值
31、范围是,1总Z,求圆锥曲线的离心率范I詞首先从定义出发，利用圆锥曲线上点坐标的范围和焦三角形的三边大小关系，结合参数方程中三角函数有界性和均值不等式，有时也常常转化为一元二次方程利用判别式或者完全平方数（式），具体问题具体对待，贵在划归转化。
