《导数》常考题型处理策略

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1、导数各种题型方法总结首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法：1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法5、二次函数区间最值求法：(1)对称轴(重视单调区间)与定义域的关系(2)端点处和顶点是最值所在其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范屈一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立;1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决:第一步：令f(兀)=0得到两个根;第二步：画两图或列表；第三步：由图表可知；其中不等式恒成立问题的实质是函

2、数的最值问题，2、常见处理方法有三种：第一种：分离变量求最值■一"用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(>0,=0,<0)第二种：变更主元(即关于某字母的一次函数)(已知谁的范围就把谁作为主元)；例1：设函数y=/(x)在区间D上的导数为广(x),广(x)在区间D上的导数为g(x),若在区间D上，g(兀)<0恒成立，则称函数y=/(%)在区间D上为“凸函数”，已知实数m是常数，/(x)=-——-—一——1262(1)若y=/(%)在区叫0,3］上为“凸函数”，求m的取值范兩；(2)若对满足

3、/n

4、<2的任何一个实数〃2,函数

5、/(兀)在区间(a,b)上都为“凸函数”，求b-a的最大值.Y4>>7r33r2r3mr2解:由函数f(x)=-得ff(x)=-3x126232g(x)=x2-mx-3(1)vy=f(x)在区间［0,3］上为“凸函数”，贝0g(x)=x2-mx-3<0在区间［0,3］上恒成立解法一：从二次函数的区间最值入于•：等价于^niax(x)<0P(0)<0=>

6、-3<°—2[g(3)<0[9-3加-3<0解法二：分离变量法：*.*当%=0时,g(x)=x2—mx—3=—3<0恒成立，当0vxW3时，g(x)=x2-mx-3v0恒成立

7、x2-33等价于m〉__的最人值(0<兀<3)恒成立，XX3而h(x)=x--(02(2)•・•当

8、/n

9、<2时/(X)在区间仏b)上都为“凸函数”则等价于当m<2时g(x)=x2-rnx-3<0恒成立变更主元法再等价于F(m)=mx-x2+3>0在网卜2恒成立(视为关于m的一次函数最值问题)A-22fF(—2)>0[―2x-+3>0亠=><=>-10匕j+3〉0:.h-a=2例2：设函数f(x)=——x3+lax2一3/兀+b(0

10、R)(I)求函数/(x)的单调区间和极值;(II)若对任意的xw［a+l,d+2］,不等式成立，求a的取值范围.(二次函数区间最值的例子)解：(I)广(尢)=一无2+4。兀一3/=—(兀一3°)(兀一。)3a3a令广(兀)>o,得/(X)的单调递增区间为am)令广(%)<0,得/(力的单调递减区间为(一00,a)和(34,+8)3A当x=a时，/(%)极小值=a3+/?;当x=3a时，f(x)极大值=Zl4(II)由

11、/'(x)

12、Wa,得：对任意的xe[a+,a+2],-a

13、则等价于g(x)这个二次函数皿八—g(x)=x2-4ax+3/的对称轴x=2a•.•Ovavl,a+>a+a=2a(放缩法)即定义域在对称轴的右边，g(x)这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。g(x)=%2-4ax+3/在[a+1,°+2]上是增函数..巩小般=g(a+2)=-2a+l・…g(X)min=g(d+l)=_4d+4.于是，对任意兀w[q+1,q+2],不等式①恒成立，等价于a+2]g(a+2)=-4a+4-a4解得—SaSl.又Ovavl,・・・1.点评：重视二次函数

14、区间最值求法：对称轴(重视单调区间)与定义域的关系第三种：构造函数求最值题型特征：/(x)>g(x)恒成立<=>h(x)=/(X)-gM>0恒成立；从而转化为第一X二种题型例3；已知函数/(x)=x3+ax2图象上一点P(l,b)处的切线斜率为-3,g(x)=x3-(r+l)x+3(/>0)(I)求a,b的值；(II)当xe［-l,4］时,求/(兀)的值域；(III)当xg［1,4］时，不等式f(x)

15、(I)知，/(兀)在［-1,0］上单调递增，在［0,2］上单调递减，在［2,4］上单调递减又/(-I)=-4,/(0)=0J(2)=-4,/(4)=16Af(x)的值域是［-4,16］(HI)令〃(x)=/(x)—g(x)=—『2+(/+］)x_3xe［l,4］思路1：要使f(x)