2017年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷含答案

《2017年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷含答案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、一、填空题：（本大题共10个小题，共70分,每小题7分・）2.己知集合A={x

2、（a兀一l）（a—x）>0},且2gA,3eA,则实数°的取值范围是•93.己知复数z=cos—+zsin—，其中2•为虚数单位，则z3+z2=.4.在平面直角坐标系兀Oy中，设斥，代分别是双曲线刍—爲=1（a>0,b〉0）的a~b~左、右焦点，卩是双曲线右支上一点，M是P鬥的中点，且OM丄P坊，3PF}=4PF2,则双曲线的离心率为.5.定义区间［心吃］的长度为吃-石.若函数j=

3、log2x

4、的定义域为［a.h］,值域为［0,2］,则区间［a,b］长度的最大值与最小值

5、的差为.6.若关于兀的二次方程加？+（2加_1）兀—加+2=0（m>0）的两个互异的根都小于1,则实数加的取值范围是.3cos8%cos4xcos4xcos2xcos2xcosxcos%8.棱长为2的正方体ABCD_A、BCU在空间直角坐标系O-xyz中运动，其中顶点A保持在z轴上，顶点色保持在平面兀Oy上，则OC长度的最小值是.9.设数列ara2,a3,L,a2l满足：=1（斤二1,2,3,L,20）,aA,tz7,勺】成等比数列.若6?,=1,^21=9,则满足条件的不同数列的个数为.77十210.对于某些正整数斤，分数一不是既约分数，则斤的最

6、小值是・二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤・）11.设数列{色}满足：①q=l；®an>0；@an=na,l+[,71gN".叫i+1求证：（1）数列｛色｝是递增数列；⑵对任意正整数〃,g+琴BlK12•在平面直角坐标系xOy中，设椭圆E:a21(a>b>0人直线/:x+y-3a=0.若椭圆E的离心率为—,原点O到直线I的距离为3近・2（1）求椭圆E与直线/的方程；（2）若椭圆E上三点P,A（0,b）,3（q,0）到直线/的距离分别为％,J2,d..求证：仏,仏，仏可以是某三角形三条边的边长・

7、13.如图，圆O是四边形ABCD的内切圆，切点分别为P,Q,R,S,OA与PS交于点A，OB与PQ交于点耳,OC与QR交于点、C,OD与SR交于点D,求证：四边形人4Gq是平行四边形.D14.求满足x3-x=y7-y3的所有素数兀和y.2017年全国高中数学联赛江苏赛区初赛参考答案与评分细则一、填空题]兀■~42.「11、3迈丿U（2,3]3.1212/3+77、4.b5.36.+oo4/7.>/38.V6-V29.1509910.17二、解答题11.证明：（1）因为%_an=an+_a，，+1,且Q”>0,所以an+~an>°，所以an+

8、>%，处N*,所以数列｛%｝是递增数列.（2）因为"咲金T<所以当n>2时,an=（陽-%）+（%-%2）+L+（。2-q）+q11f11,<++L+-+-+1n-_221k所以对任意正整数斤,12.解：(1)由题设条件得£~a_Pb2+c2=a2,从而461=2、b=l.Y故所求的椭圆E：—+尸=1,直线儿x+y_6=0.又心二吗二肛止，d产晔迥=2妃>/22v2故d-,>dy.所以d「d“仏可以是某个三角形的三条边的边长・13.证明：连接PR,05.因为圆O是四边形ABCD的内切圆，所以04是ASAP的平分线，且AP=AS・在AASP中，

9、由三线合一，点人是线段PS的中点.同理点冋是线段PQ的中点，所以A^//SQ.同理DXCX//SQ.所以A&〃Z)C.同理AQ〃BC.所以四边形的平行四边形.14.解:满足题设条件的素数只有兀=5,y=2.假设y>5,则『—尸>5/-y3>y6+20/-y3>y6+6y5+70y4一j3>/+6y5+15/+20/+15/+6y4-1w+l)l所以x5>x3-x=y7-y3(y+l)6,即x>(y+l)又因为xx3-x=y1-y3=(y-l)(y+l)(y2+1)，且兀为素数，ffuy-1

10、y+1)(尸这与MW—b矛盾.所以yv5.因为y是素数，所以y=2f或y=3.当y=2时，x3-x=120,即(x-5)(x2+5x+24)=0,所以x=5.当y=3时，x3-x=2160=24-33-5.因为x

11、x3-x=24-33-5,且兀为素数，所以x=2,或x=3,或x=5.经检验，x=2,或兀=3,或x=5时，x3-x24•33•5,所以满足条件的素数只有x=5,y=2.