2015届高考数学(理)一轮总复习自测立体几何(北师大版)

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1、2015届高考数学（理）一轮总复习自测：立体几何A组　基础训练一、选择题　　　　　　　　　　　　　　　1．(2013·马鞍山高三第二次质检)某几何体的三视图如图7所示，则它的体积是(　　)图7A．8－2πB．8－C．8－D.【解析】　由三视图可知几何体是一个棱长为2的正方体中挖空一个圆锥(底面半径为1，高为2)的剩下部分，其体积为8－.【答案】　C2．已知两条互不重合的直线m，n，两个不同的平面α，β，下列命题中正确的是(　　)A．若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥βB．若m⊥α，n∥β，且m⊥n，则α⊥βC．若m⊥α，n∥

2、β，且m∥n，则α∥βD．若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β【解析】　对于选项D，m⊥α，m⊥n，则n⊂α或n∥α，即存在直线l⊂α，使得l∥n，故l⊥β，得α⊥β.故选D.【答案】　D3．(2014·南昌模拟)正四棱锥S－ABCD的底面边长为4，高SE第9页共9页＝8，则过点A，B，C，D，S的球的半径为(　　)图8[][]A．3B．4C．5D．6【解析】　如图所示，过A，B，C，D，S的球心为O，由OE2＋EC2＝OC2，可得(8－R)2＋42＝R2，解得R＝5，故应选C.【答案】　C4．如图9所示，ABCD－A1B1

3、C1D1是棱长为6的正方体，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF.当A1，E，F，C1共面时，平面A1DE与平面C1DF所成二面角的余弦值为(　　)图9A.B.C.D.【解析】　以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，易知当E(6,3,0)，F(3,6,0)时，A1，E，F、C1第9页共9页共面，设平面A1DE的法向量为n1＝(a，b，c)，依题意得可取n1＝(－1,2,1)，同理可得平面C1DF的一个法向量为n2＝(2，－1,1)，故平面A1DE与平面C1DF所成二面角的余

4、弦值为＝.故选B.【答案】　B5．如图10，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是(　　)图10A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC【解析】　在平面图形中CD⊥BD，折起后仍有CD⊥BD，由于平面ABD⊥平面BCD，故CD⊥平面ABD，CD⊥AB，又AB⊥AD，故AB⊥平面ADC，所以平面ABC⊥平面ADC，

5、故选D.【答案】　D二、填空题6．(2013·湖北高考)我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是________寸．(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸)【解析】　第9页共9页圆台的轴截面是下底长为12寸，上底长为28寸，高为18寸的等腰梯形，雨水线恰为中位线，故雨水线直径是20寸，∴降水量为＝3(寸)．【答案】　37．(2014·长沙模拟)如图11，在三棱锥D

6、－ABC中，若AB＝BC，AD＝CD，E是AC的中点，则平面ADC与平面BDE的关系是________．图11【解析】　由AD＝CD知DE⊥AC，由AB＝BC知，BE⊥AC，则AC⊥平面BDE，故平面ADC⊥平面BDE.【答案】　垂直8．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列命题：①若α∥β，m⊂β，n⊂α，则m∥n；②若α∥β，m⊥β，n∥α，则m⊥n；③若α⊥β，m⊥α，n∥β，则m∥n；④若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n.上面命题中，所有真命题的序号为________．【解析】　对于①，m，n可能

7、是异面直线，故①错；对于③，两条直线m和n也可以相交或异面，故③错；②，④正确．【答案】　②④三、解答题9．如图，圆锥顶点为P，底面圆心为O，其母线与底面所成的角为22.5°，AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦，轴OP与平面PCD所成的角为60°.图12第9页共9页(1)证明：平面PAB与平面PCD的交线平行于底面；(2)求cos∠COD.【解】　(1)证明　设平面PAB与平面PCD的交线为l.因为AB∥CD，AB不在平面PCD内，所以AB∥平面PCD.又因为AB⊂平面PAB，平面PAB与平面PCD的交线为l，所以AB∥l

8、.由直线AB在底面上而l在底面外可知，l与底面平行．(2)设CD的中点为F，连接OF，PF.由圆的性质，知∠COD＝2∠COF，OF⊥CD.因为OP⊥底面，CD⊂底面，所以OP⊥CD.又OP∩OF＝O，故CD⊥平面OPF.又CD⊂平面PCD，因此平面OPF⊥平面PCD，从而直线OP在平面P