自功率谱密度函数和自相关函数

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1、自功率谱密度函数和自相关函数自功率谱密度函数和自相关函数的关系的关系一、维纳一、维纳——辛钦定理辛钦定理∞−jωτ对于一般随机过程X(t)：GX(ω)=∫RX(t,t+τ)edτ−∞QR(t,t+τ)=R(τ)若X(t)是平稳过程则有：XX∴R(t,t+τ)=R(τ)=R(τ)XXX∞⎧−jωτGR()ωτ==()edττF[]R()XX∫X⎪−∞有：⎨1∞jωτ−1⎪RG()τ==()ωωedF[]G()ωXX∫X−∞⎩2π因为X(t)平稳∴RX(τ)，GX(ω)是偶函数。∞⎧G(ω)=2R(τ)cosωτdτ⎪X∫X0则有：⎨1∞⎪RX(τ)=∫GX

2、(ω)cosωτdω0⎩π二、维纳二、维纳——辛钦定理的推广辛钦定理的推广⑴直流信号X(t)=C⑵周期信号Y(t)=acos(ωt+θ）022在时域：QX(t)=C,R(τ)=E[X(t)X(t+τ)]=E[C]=CX∞∞2∴R(τ)dτ=Cdτ→∞∫−∞X∫−∞2aQY(t)=acos(ωt+θ),R(τ)=cosωτ0Y022∞∞a∴R(τ)dτ=cosωτdτ→∞∫Y∫0−∞−∞2QR(τ),R(τ)不满足绝对可积的条件，∴F变换不存在。XY傅氏变换绝对可积的条件限制了维纳—辛钦定理的应用。在频域：⑴直流信号X(t)X(t)=C⎫⎬两者⑵周期信号X

3、(t)Y(t)=acos(ωt+θ)0⎭⎧ω=0仅在⎨频率上存在功率。ω=ω⎩0平均功率频率点上功率=/0则其功率谱密度==→∞单位频带0带宽既：GG(0)→∞，(ω)→∞XY0可以借助δ函数，将直流信号与周期信号在各个频率点上的无限值用一个δ函数来表示，借助δ函数的傅氏变换⎧⎪12()⇔πδω⎪⎪⎨cos(ωτπ)⇔−[(δωωδ)+(ω+ω)]000⎪π⎪sin(ωτδ)⇔−[(ωω)−δ(ω+ω)]000⎪⎩j可利用函数的δF变换，来求⑴⑵两特殊信号的功率谱密度。()=1G(ω)=2πδ(ω)RτXX0τ0ωG(ω)=π[δ(ω−ω)+δ(ω+ω)

4、]R(τ)=cosωτY00Y0−ωωω000τ例1随相余弦过程Xt()=Acos(ω0t+Φ，其中)A、Φ为常数，Φ在(0,2)π上均匀分布，求X(t)的功率谱密度。2解：据以往结果，R()(τ=A)cos(ωτ)←求傅氏变换X2022AAGF()ω=⋅[cos()]ωτ=⋅πδωω[](−++)(δωω)X0002216例2已知平稳过程X(t)具有功率谱密度：G(ω)=X42求其自相关函数，平均功率。ω+13ω+3616解：利用部分分式法GX(ω)=22(ω+4)(ω+9)1616554486=−=⋅−⋅2222ω+4ω+95ω+415ω+9⎡2α−

5、ατ⎤利用傅氏变换对⎢22⇔e⎥⎣α+ω⎦4−2τ8−3τ∴自相关函数为：R(τ)=⋅e−⋅eX515平均功率为：P==RR(0)()τXXτ=0⎡−4823ττ−⎤484=⋅⎢⎥ee−⋅=−=⎣⎦515=51515τ0三，物理功率谱密度：由于实际应用中，负频率不存在，所以定义一个仅在正频率上存在的物理功率谱密度：⎧2()Gωω,0≥F(ω)XXF()ω=⎨X⎩............0,ω<0G(ω)X1∞jωτR()τ=Fed()ωωXX∫2π0111∞∞∞P===Gd()ωωω2()GdωωFd()ω∫∫∫XXX222π－∞ππ00