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1、例谈用直接解一元二次方程来解高考题高考题1(2015年高考上海卷理科第21题)己知椭圆x2+2y2=l原点的两条直线厶和厶分别与椭圆交于点4、B和C、D,记得到的平行四边形ABCD的面积为S.(1)设A(xpy,),C(x2,y2),用A、C的坐标表示点C到直线厶的距离，并证明⑵设厶与厶的斜率之积为一£，求面积s的值.解(1)略.(2)设厶:y=kx>得12:y=^-x.又设A(x[,y[C(x2,y2)2krhY2同理，可得*21_2k21+2(-丄/科2k再由(1)的结论,(2疋+1)血凶二凶J1+2/.J2/+12k2+1I
2、T高考题2(2015年高考湖北卷理科第21题)一种作图工具如图1所示.O是滑槽4B的中点，短杆CW可绕O转动，长杆MN通过/V处钱链与O/V连接，MN上的栓子D可沿滑槽4B滑动，匙DN=ON=,MN=3.当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕。转••动一周(D不动时，N也不动)，M处的笔尖画出的曲线记为C.以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系.S=2
3、g2—兀2刃=22k21•X“2⑴求曲线C的方程.(2)设动直线/与两定直线厶：x-2y=0和心x+2y=0分别交于P,Q两点.若直线/总与曲线C有且只
4、有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由.解(1)如图3所示，设点£>((,0)(
5、/
6、W2),Ng沟)，y).(X0—/)‘+)&=1,£+£=1，依题意，得MD=2DN.且
7、顽
8、=
9、贡
10、=1,所以(Z—x,-y)=2(x0-t,为)，且[t一x=2x()—2t,即]且/(/—2ro)=O.ly=—2yo，由于当点D不动时，点“也不动，所以/不恒等于0,于是/=细，故Ao=Jyo=~22222代入分+)社1，可得話+于=1，即所求的曲线C的方程为話+沪1.(2)(i)当直线/的斜
11、率不存在时，直线/为x=4或兀=一4,都有Saop0=
12、x4X4=&(ii)当直线/的斜率存在时，设直线厶+雄工±£).y=kx+m,由[八?消去y,可得(1+4Qf+8如兀+4〃广一16=0・lx+4/=16,因为直线/总与椭圆C有且只有一个公共点，所以/=64心,一4(1+4/)(4屏一16)=0,屏=16^+4①乂由y=kx+m.x—2y=(),可得P同理可得(—2mm)Q1+2Q1+2J2m2m1-2kl+2k将①代入此式，得比。腿=2m2-4k284/+1-4疋—1由原点O到直线PQ的距离d=p,点2和1凡21=y
13、)1+”
14、xp—切
15、，可得Sso=尹!21•d=^m\xp-x^=^m•当尸>才时，Sao/>q=8・4^2_]=8(1+甘2_j>8；当OW&v才时，S^opq=^j—41c=8(t由0得0<1_4疋勺，昌卩鼻2,所以Sppq=8(T+]7佥已j$8(当且仅当R=0时取等号).所以当且仅当£=0时，Saopq的最小值为&综合(i)(ii)可知，当且仅当直线/与椭圆C在四个顶点处相切时，'OPQ的面积取得最小值，且最小值为&2高考题3(2014年高考陕西卷理科第20题)如图4所示，曲线Crfl上半椭圆G：土+2★=l(a>Q
16、O,)，MO)和部分抛物线C2：y=-?+10<0)连接而成，G与C?的公共点为A,B,其中G的离心率为爭.(1)求a,b的值；(2)过点B的直线/与G，C?分别交于点P,Q(均异于点A,B),若4P丄AQ,求直线/的方程.解(1)(过程略)a=2,b=l・(2)由(1)知，上半椭圆G的方程为才+/=1卜$0).易知直线/与x轴不重合也不垂直，所以可设其方程为),=心一1)伙H0).把它代入G的方程，整理得伙2+4),—2疋兀+疋一4=0①设点P的坐标为(*,»),因为直线/过点B,所以x=l是方程①的一个根.由韦达定理，可得X严冲
17、，从而)卩=冲，所以点户的坐标为(J弔，丙y=k(x—1)(心0),同理，由得点Q的坐标为(一比一1,—心一2心・』=—f+l(yWO),z->2k->得伙，一4)，AQ=—k(l，k+2).2r2因为AP丄AQ,即乔・40=0,也即丙才伙一4伙+2)]=0.Q因为RH0,所以/<=~y经检验，£=—号符合题意，所以直线/的方程为y=—肆无T).高考题4(2012年高考四川卷理科第21题)如图5,动点M与两定点A(-hO).5(2,0)构成△MAB,且ZMBA=2ZMAB.S动点M的轨迹为C.图5(1)求轨迹C的方程；⑵设直线y=-
18、2x^m与y轴相交于点P,与轨迹C相交于点Q、R,且
19、円2
20、＜卩？
21、,求豐的取值范围.解(1)(过程喲3x2-/=3(x>1).⑵由y=-2x+m3%2-/=3x2-4m¥+m2+3=0因为该方程的两根均大于1,所以-4m.>12
