全等三角形-截长补短法

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1、“截长补短”的思想在几何证明中的运用【学习目标】（30秒）用“截长补短法”解决线段的和、差问题。【重、难点】（30秒）用“截长补短法”解决线段的和、差问题。【操作思考】（2分钟）1、画一画：线段AB=CD+EF线段CD=AB-EF线段AB线段CD线段EF（通过让学生在纸上画出线段的和和差的图形来说明线段的截长补短）【归纳小结】（2分钟）截长补短法”：“截长”就是将题中的某条线段截成题中的几条线段之和；“补短”就是将题中某条线段延长（或补上某线段），然后，证明它与题中某条线段相等。典题解析（3+4+6

2、分钟）例1、如图，在ABC中，AD是∠BAC的平分线，∠C=2∠B.求证：AB=AC+CD思路点拨：延长AC到E,使CE=CD,连接DE._D_C_B_A证明：在AB上取一点E，使AE=AC，连接DE,∵AD平分∠BAC∴∠EAD=∠CAD在△EAD和△CAD中导学设计教学重难点用“截长补短法”解决线段的和、差问题。教具准备三角尺、翻折全等三角形的纸张模型、多媒体课件．导学流程一、导入新课,揭示目标(1分钟)线段AB=10cm线段CD=6cm线段EF=4cm语言；画三条线段思考两条线段和与差能否等于

3、第三条线段。师生对照课件解读学习目标用“截长补短法”解决线段的和、差问题。二、归纳小结截长补短法：“截长”就是将题中的某条线段截成题中的几条线段之和；“补短”就是将题中某条线段延长（或补上某线段），然后，证明它与题中某条线段相等。三．典题解析例1、思路点拨：延长AC到E,使CE=CD,连接DE.或者在AB上截取AG，使AG=AC，连接DG。追问;这个图形的基本图形是怎样的图形？请把它画出来。AE=AC，∠EAD=∠CADAD=AD；∴△AED≌△ACD（SAS）∴∠AED=∠C=2∠BED=CD例2

4、、已知，如图1-1，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，BD平分∠ABC.求证：∠BAD+∠BCD=180°.分析：因为平角等于180°，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现.证明：作DE⊥AB于E，DF⊥AD于F。∵BD平分∠ABC，∴DE=DF。在Rt△AED和Rt△CFD中，DE=DF，AD=CD，∴Rt△AED≌Rt△CFD，∴∠EAD=∠C，∵∠BAD+∠EAD=180°，∴∠BAD+∠B

5、CD=180°。图2-2例3、如图2-1，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB.求证：CD=AD+BC.分析：结论是CD=AD+BC，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD上截取CF=CB，只要再证DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的.图1-2o证明：在CD上取一点F，使得DF=DA，连接EF∵DE平分∠ADF，展示分配：一、三小组展示，其他小组质疑，提问。组员先在小组内展示，再派一名在黑板上展示，一组展示截长法，三组展示补短法

6、。例2、思路点拨：怎样利用角平分线的性质来作辅助线?追问：1、能不能在线段BC上截取BG=AB呢？2、能不能延长线段AB到H,使AH=BC呢？展示分配：二、四小组展示，其他小组质疑，提问。组员先在小组内展示，再派一名在黑板上展示，二组展示截长法利用角平分线的性质作辅助线的方法，四组展示截长法或者补短法。例3、思路点拨：结论是CD=AD+BC，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD上截取CF=CB，只要再证DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的.∴∠ADE=∠FD

7、E在△ADE与△FDE中DA=DF∠ADE=∠FDEDE=DF∴△ADE≌△FDE（SAS）∴∠A=∠DFE(全等三角形对应角相等)∵AD∥BC，∴∠A+∠B=180°又∵∠DFE+∠CFE=180°∴∠B=∠CFE，又∵CE平分∠BCF，∴∠ECF=∠ECB在△BCE和△FCE中∠B=∠CFE∠ECF=∠ECBCE=CE∴△BCE≌△FCE∴CF=CB（全等三角形对应边相等）∵AD=DF∴CD=AD+BC【课堂小结】截长补短法”：“截长”就是将题中的某条线段截成题中的几条线段之和；“补短”就是将题

8、中某条线段延长（或补上某线段），然后，证明它与题中某条线段相等。□达标检测【基础训练】1、如图,在△ABC中,∠C=25°,AD⊥BC,垂足为D,且AB+BD=CD,则∠BAC的度数是105°.2、如图，∠B＝2∠C，AD⊥BC于D，求证：AB＋BD＝CD证法一：在线段CD上截取DE=BD，连结AE展示分配：五、六小组展示，其他小组质疑，提问。组员先在小组内展示，再派一名在黑板上展示，六组展示截长法利用角平分线的性质作辅助线的方法，五组展示补短法。追问：能不能延长DA