运筹学_第1章_线性规划习题

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1、第一章线性规划习题1.1（生产计划问题）某企业利用A、B、C三种资源，在计划期内生产甲、乙两种产品，已知生产单位产品资源的消耗、单位产品利润等数据如下表，问如何安排生产计划使企业利润最大？表1—1产品单耗资源甲乙资源限制ABC120111300kg400kg250kg单位产品利润（元/件）50100解：设x1、x2分别代表甲、乙两种产品的生产数量（件），z表示公司总利润。依题意，问题可转换成求变量x1、x2的值，使总利润最大，即maxz=50x1+100x2且称z=50x1+100x2为目标函数。同时满足甲、乙两种产品所消耗

2、的A、B、C三种资源的数量不能超过它们的限量，即可分别表示为x1+x2≤3002x1+x2≤400x2≤250且称上述三式为约束条件。此外，一般实际问题都要满足非负条件，即x1≥0、x2≥0。这样有maxz=50x1+100x2x1+x2≤3002x1+x2≤400x2≤250x1、x2≥0工厂1工厂2200万m3500万m3图1—1习题1.2靠近某河流有两个化工厂，流经第一化工厂的河流流量为每天500万m3，在两个工厂之间有一条流量为200万m3的支流。两化工厂每天排放某种有害物质的工业污水分别为2万m3和1.4万m3。从

3、第一化工厂排出的工业污水流到第二化工厂以前，有20%可以自然净化。环保要求河流中工业污水含量不能大于0.2%。两化工厂处理工业污水的成本分别为1000元/万m3和800元/万m3。现在要问在满足环保要求的条件下，每厂各应处理多少工业污水，使这两个工厂处理工业污水的总费用最小。解：设x1、x2分别代表工厂1和工厂2处理污水的数量(万m3)。则问题的目标可描述为minz=1000x1+800x2约束条件有第一段河流（工厂1——工厂2之间）环保要求(2－x1)/500≤0.2%第二段河流（工厂2以下河段）环保要求[0.8(2－x1

4、)+(1.4－x2)]/700≤0.2%此外有x1≤2；x2≤1.4化简得到minz=1000x1+800x2x1≥10.8x1+x2≥1.6x1≤2x2≤1.4x1、x2≥0x2z*=50x1+100x2=27500x1+x2≤300x1x2≤2502x1+x2≤400z1=50x1+100x2=0BOACD图1—2z2=14000习题1.3maxz=50x1+100x2x1+x2≤3002x1+x2≤400x2≤250x1、x2≥0用图解法求解。解：如图1—2中的B点，即问题的最优解为x1*=50；x2*=250，相应的

5、最优值为z*=27500，且该问题有唯一最优解。1－11z=42z=6OA图1—3习题1.4maxz=2x1+2x2x1－x2≥1－x1+2x2≤0x1、x2≥0用图解法求解。解：图1—3中阴影部分就是该问题的可行域，显然该问题的可行域是无界的。两条虚线为目标函数等值线，它们对应的目标值分别为2和4，可以看出，目标函数等值线向右移动，问题的目标值会增大。但由于可行域无界，目标函数可以增大到无穷。称这种情况为无界解或无最优解。习题1.5化下列线性规划为标准形maxz=2x1+2x2－4x3x1+3x2－3x3≥30x1+2x2

6、－4x3≤80x1、x2≥0，x3无限制解：按照上述方法处理，得该线性规划问题的标准形为maxz=2x1+2x2－4x31+4x32x1+3x2－3x31+3x32－x4=30x1+2x2－4x31+4x32+x5=80x1、x2，x31，x32，x4，x5≥0例1.6用单纯形法求解maxz=50x1+100x2x1+x2≤3002x1+x2≤400x2≤250x1、x2≥0解：首先将问题化为标准形式，然后将整个计算过程列在一个表中（表1—9）。表1—9Cj50100000bCBXBx1↓x2↓x3x4x50x3111003

7、000x421010400←0x50[1]001250－z501000000←0x31010-1500x42001-1150100x201001250－z50000-100－2500050x11010-1500x400-21150100x201001250－z00-500-50－27500由于σj≤0（j=1，…，5），故X*=（50，250，0，50，0）T，Z*=27500例1.7用单纯形法求解maxz=2x1+x2－x1+x2≤52x1－5x2≤10x1、x2≥0解：用单纯形表实现如表1—10表1—10Cj2100bθ

8、CBXBx1↓x2x3x40x3-11105—←0x4[2]-5011010/4(min)－z210000x30-3/211/2102x11-5/201/25－z060-1－10σ2=6>0，且p2≤0，故该线性规划有无界解（无最优解）。例1.8用单纯形法（大M法）求解下列线性规划maxz