运筹学-线性规划第2章

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1、例如：SLP就是SLP的可行解。一可行解，可行域定义一：称满足全部约束条件的向量为可行解或可行点或容许点。第二章线性规划的基本概念和基本定理§2.1线性规划的基本概念定义2：称所有可行解（点）构成的集合为可行集或可行域。也称为可行解集。例如：上面SLP的可行域为R={x

2、Ax=b,x≥0}定义3：若一个线性规划问题的可行集为空集时，则称这一线性规划无可行解。这时线性规划的约束条件不相容。由上一章的分析可以看到：一个线性规划的可行解集可以是空集，有界非空集和无界非空集。二最优解，无界解定义4：称使目标函数值达到最优值的可行解为线性规划问题的最优解。解：问题的可行域是上图所示的无界凸多

3、边形区域，在此无界可行域上，目标函数值无上界，所以这个线性规划问题有无界解。定义5：对于极大化目标函数的标准线性规划问题，定义其无界解如下：对于任何给定的正数M，存在可行解x满足Ax=b，x≥0，使cx>M。那么称该线性规划问题有无界解。由定义可知，无界解的意思是：若是极大化目标函数，则在可行域上目标函数值无上界；若是极小化目标函数，则在可行域上目标函数值无下界。那么，有无界解的线性规划问题一定没有最优解。maxs.t例1.考虑线性规划问题：例2.maxf=s.t解：此问题的可行域如上图，是一个无界的多边形。但极大化目标函数却以1为上界。因此这个线性规划问题没有无界解，而且事实上，

4、此问题目标函数最优值maxf=1在可行域射线上均可达到。三.基、基本可行解定义6：对于约束条件Ax=b，设A是秩m的mｘn矩阵，用(Pj,j=1~n)表示A的第j列向量。即A=()。由A的m个列向量构成的m阶方阵B=()若B是非奇异的，即detB‡0，则称B为一个基或称为一个基矩阵。因为SLP问题中含有约束条件Ax=b，因此也通常称B为线性规划SLP的一个基。解：A=使minf=满足例3.求x1----x5由上面定义可知，B中m个列向量是线性无关的，并且它是A的列向量组的一个最大无关组。按定义，A中m个列向量，只要是线性无关的就可以构成一个基。定义7：若变量对应A中列向量包含在基B

5、中，则称为B的基变量；若变量对应A中的列向量不包含在基B中，则称为B中的非基变量。定义8：设Ax=b,x0一个基，其对应的基变量构成的m维列向量记为这时若取非基是线性无关，因此是一组基。而不在这个基中，所以x1,x2为非基变量。的列是线性无关的，即则于是得到方程组Ax=b的一个解：非基变量称之为对应于基B的基本解。这个定义也告诉我们怎样找一个基本解）变量等于0，则Ax=bBxB=b,得唯一解xB=B-1b.记为如：上面例2中，非基变量x1=x2=0.则可得x3=5,x4=-2,x5=21.所以x0=(0,0,5,-2,21)是对应于基B的一个基本解，但由于x4=-2<0.不能满足约

6、束条件，所以这个基本解不是原问题的可行解。（为什么？）这是因为，按照定义，基本解中的n-m个非基变量必须取0值只有m个基变量取值才可能不等于0。但可以取负值。因此基本解不一定满足SLP的非负要求。定义9：对应于基B的基本解，若基变量取非负值，即xB=B-1b>=0，则称它为满足约束Ax=b,x>=o的基本可行解。对应地称B为可行基，因SLP中具有此约束条件。也通常称为SLP的基本可行解。上面我们讲到基本解中有n-m个分量必须取零值，而只有m个基变量取非零值。而基本可行解，它一方面是基本解，另一方面又是可行解，因为它是基本解，所以n-m个非基变量取0值；它是可行解，则m个基变量取非负

7、值，从而基本可行解正分量是个数不超过m.定义10：使目标函数达到最优值的基本可行解，称为基本最优值。例4：（SLP)如例3，试找一个基本可行解。解：是其一个基矩阵.p1,p3,p5是一个基。则x1,x3,x5为基变量。X2,x4为非基变量。令x2=x4=0.得x1=2,x3=3,x5=9.故x1=(2,0,3,0,9)是原问题的一个基本可行解，B1为基可行基。那么满足Ax=b,x0的正分量个数不超过m的可行解（Rank(Amn)=m)是否一定是基本可行解呢？我们举例说明这个问题。它有正分量个数等于m(m=2)的可行解:x1=3,x2=1,x3=0,x4=0但它不是基本可行解。证：（

8、反证法）假设可行解x=(3,1,0,0)T是上面约束的基本可行解。因为基本可行解中非基变量取0值，基变量取非负值。在这个可行解中x1,x2非零正值，因此x1,x2不可能是非基变量，只能是基变量。按定义，基变量对应的系数矩阵中的列向量p1,p2应构成一个基矩阵B.但这里p1,p2是线性相关的（p1=p2),这与B是基矩阵矛盾。故知x=(2,1,0,0)T不是基可行解。例5.已知约束条件为：其可行域如上图，可行解（3，1，0，0）T。用x1,x2表示则为图上点（3，1）。